帕累托最优

帕累托最优（Pareto efficiency，又称帕累托有效）用来判断一个结果是否仍有让至少一人变好、又不让任何人变差的可行改进。它评价的是结果相对于某个可行集合的效率，不评价结果是否公平，也不说明参与者是否愿意自发选择它。

仍用囚徒困境的教学收益表：

甲＼乙	合作 C	背叛 D
合作 C	(3,3)	(0,5)
背叛 D	(5,0)	(1,1)

若双方都选 D，各得 1。改为双方都选 C，各得 3；两人都提高了收益，所以（1,1）不是帕累托最优。可是（D,D）仍是纳什均衡：只让甲或乙一个人改选 C，那个人的收益会从 1 降到 0。有共同改进的空间与有人愿单独改选是不同的判断。

可行集合与严格的定义

设 $F$ 是允许考虑的结果集合， $u_{i} (x)$ 是参与者 $i$ 在结果 $x \in F$ 的收益。若 $y \in F$ 对每个人都满足 $u_{i} (y) \geq u_{i} (x)$ ，并且至少对一人有严格不等式，就说 $y$ 帕累托改进于 $x$ 。若不存在这样的 $y$ ， $x$ 就是相对于 $F$ 的帕累托最优结果。

若 $F$ 只包含表中的四种纯策略结果，（3,3）、（5,0）、（0,5）都有效。检验（3,3）：另两个较极端结果虽让一人升到 5，却使另一人降到 0，不能算改进。检验（5,0）：表里没有甲收益至少为 5、同时让乙收益提高的结果；（0,5）对称。剩下（1,1）被（3,3）严格改善。这四次比较就完成了本表的判断，不需要把两人收益相加。

横轴甲收益纵轴乙收益，四个纯策略点为1和1、3和3、5和0、0和5；从1和1指向3和3的箭头表示双方改善；三个其余点标为有效 — 由（1,1）到（3,3）两人都变好；（5,0）与（0,5）虽然悬殊，仍不能在这四格中不损害一方地改善。

扩大可行集合后的变化

“有效”总要说明允许怎样改变结果。如果还允许两人共同抽签，随机选（5,0）或（0,5），各以 $1 / 2$ 的概率发生，那么期望收益是 $(2.5, 2.5)$ 。它由两个纯策略有效结果混合而成，却被确定的（3,3）同时改善；可见有效结果的混合未必仍有效。这里是在比较事前期望收益，并假定参与者按表中收益评价这种抽签；没有共同抽签机制时，它并不属于原先的可行集合。

帕累托最优也不等于收益总和最大。例如纯策略结果（5,0）和（0,5）的总和都是 5，低于（3,3）的 6，但它们仍帕累托有效：把收益总和提高，可能同时让某个人损失。若要在有效结果中进一步选择，还得另外指定公平、风险、权利或福利权重等判断标准；效率定义本身不给出排序。

一次检验

另有三种可行分配 $A = (4, 1)$ 、 $B = (4, 3)$ 、 $C = (3, 4)$ 。 $B$ 改进 $A$ ：甲仍得 4，乙从 1 升到 3，所以 $A$ 无效。 $B$ 与 $C$ 相比，一方收益高而另一方低，互不改进；在只含这三种结果的集合里， $B$ 与 $C$ 都有效。判断“至少一人严格变好”时，另一人保持原样也符合条件。

参考资料

MIT OpenCourseWare：Introduction to Game Theory II，帕累托最优定义及囚徒困境中的效率比较。
MIT OpenCourseWare：Game Theory, Lecture 14，可行收益集合上的帕累托效率。