纳什均衡

纳什均衡（Nash equilibrium）是一组策略，其中每个人在别人策略不变时，都不能靠自己单独换策略提高收益。它回答的是“此时谁还想单方面改选”，不是“结果是否公平”或“是否对所有人最好”。

设参与者 $i$ 的策略为 $s_{i}$ ，其他人的策略合写为 $s_{- i}$ 。策略组合 $s^{*}$ 是纳什均衡，当且仅当对每个 $i$ 和他所有可选的 $t_{i}$ ，都有 $u_{i} (s_{i}^{*}, s_{- i}^{*}) \geq u_{i} (t_{i}, s_{- i}^{*}) .$ 式中的“其他人不变”至关重要：它只比较单人偏离，不能据此断言两人一起调整后的收益。

用最佳回应读收益表

下面的数是两个参与者在一次博弈中的教学收益；每格先写甲，后写乙。

甲＼乙	猎鹿	猎兔
猎鹿	(4,4)	(0,3)
猎兔	(3,0)	(3,3)

若乙猎鹿，甲猎鹿得 4，猎兔得 3，甲的最佳回应是猎鹿；若乙猎兔，甲猎鹿得 0，猎兔得 3，最佳回应变为猎兔。对乙作同样比较，可知（猎鹿，猎鹿）与（猎兔，猎兔）都是纳什均衡；另外两个格子至少有一人愿意改选。前一个均衡双方收益较高，后一个却可能因担心配合失败而维持。详细的信念门槛见猎鹿博弈。

求有限表格中的纯策略均衡，逐列找甲收益最大格，逐行找乙收益最大格，两种标记重合处便是均衡。若出现并列最大值，两个都要保留。“找两个最大数所在格”会把不属于同一条件比较的收益混在一起。

没有纯策略均衡时

在零和博弈的“同面得一分”游戏中，甲想让两枚硬币同面，乙想让它们异面。若两枚同面，乙愿意换；若两枚异面，甲愿意换，因而四个纯策略组合都不是均衡。

允许混合策略后，甲以概率 $p$ 选正面，乙以概率 $q$ 选正面。甲选择正面的期望收益是 $2 q - 1$ ，选反面是 $1 - 2 q$ ；甲只有在 $q = 1 / 2$ 时才愿意以正概率使用两种行动。乙同理只有在 $p = 1 / 2$ 时无差别。因此 $(p, q) = (1 / 2, 1 / 2)$ 是混合策略均衡。随机化的计算用的是期望收益，并非声称每局都平手。

纳什在 1950 年证明：参与者与纯策略集合都有限时，只要允许混合策略，至少存在一个纳什均衡。这是存在结论，不保证均衡唯一，不提供哪一个一定会在现实中出现，也不说每个人必然懂得所有收益。若某人观察到前一步行动才决策，还需考察每个后续局面中的理性选择；有限完全信息树常用逆向归纳寻找子博弈精炼均衡，见蜈蚣博弈。

均衡与集体改进的区别

在囚徒困境中，双方背叛互为最佳回应，但双方合作会让两人都获得更高收益。这个例子说明“没有人想单独改选”不等于“没有办法让所有人变得更好”。前者是纳什均衡，后者涉及帕累托改进；两种问题必须分开问。

参考资料

John F. Nash，〈Equilibrium points in n-person games〉，《PNAS》，1950：有限博弈混合均衡存在性原始论文。
MIT：策略式博弈与纳什均衡讲义。