相似与比例尺

相似描述形状相同而大小可以不同的几何对象：对应的所有长度按同一个正数倍改变，对应角保持不变。比例尺把这种长度比用于图纸、模型或地图，约定比较“图上长度”与“实际长度”。长度扩大两倍，面积和体积会分别扩大四倍、八倍；区别来自它们各自包含几个长度因子。

阅读本篇只需会计算比与比例和三角形面积。先从一块三角板的放大开始，再用同一个倍数处理面积，最后把方法用于图纸。

先把对应关系找准

一块直角三角板的顶点为 $A, B, C$ ，直角在 $A$ ，两条直角边 $A B = 4 c m$ 、 $A C = 3 c m$ ，斜边 $B C = 5 c m$ 。要把它等比例放大到原来的1.5倍，新的三个顶点按对应关系记作 $A^{'}, B^{'}, C^{'}$ 。这些尺寸是本篇的教学设计。

“放大到1.5倍”表示每一个长度都乘 $1.5$ ，不是给每条边加上1.5厘米。因此 $A^{'} B^{'} = 1.5 \times 4 = 6, A^{'} C^{'} = 1.5 \times 3 = 4.5, B^{'} C^{'} = 1.5 \times 5 = 7.5$ 的单位均为厘米。核对时将新边除以它对应的旧边： $\frac{A^{'} B^{'}}{A B} = \frac{6}{4} = \frac{A^{'} C^{'}}{A C} = \frac{4.5}{3} = \frac{B^{'} C^{'}}{B C} = \frac{7.5}{5} = 1.5.$ 若将 $A^{'} B^{'}$ 与 $B C$ 相比，得到的 $6 / 5$ 不表示这个放大倍数，因为两条边并不对应。

两块对应的直角三角板，原边长三四五厘米，放大后为四点五六七点五厘米，直角均在A顶点 — 同色、同线型的边彼此对应；标记顺序ABC与A′B′C′同时规定了角和边的对应关系。

看图中的直角和另外两个角，它们没有随边长一起乘1.5。新三角形的斜率比 $A^{'} C^{'} / A^{'} B^{'} = 4.5 / 6 = 3 / 4$ 与原图一致；边的倾斜程度保持了下来。若反过来把大三角板缩成小三角板，倍数应为 $1 / 1.5 = 2 / 3$ 。所以一个相似比总要说清“哪一个比哪一个”。

什么条件保证形状相同

在欧氏平面或空间中，可以用距离给出相似的精确定义：若两个图形的点有一一对应，存在同一个常数 $k > 0$ ，使任意两点 $P, Q$ 及对应点 $P^{'}, Q^{'}$ 都满足 $P^{'} Q^{'} = k P Q,$ 就称这两个图形相似， $k$ 是从前者到后者的相似比。平移、旋转、镜面反射可以改变图形的位置或朝向，不改变这个长度比； $k = 1$ 时得到全等。 $k = 0$ 会把整个图形压成一个点，不属于这里的相似变换。

对于非退化三角形，不需要真的检查无限多对点。常用判定包括两角对应相等（AA）、三边对应成比例（SSS），以及两边对应成比例且它们的夹角相等（SAS）。其中夹角的位置十分重要；随便再给一个非夹角，可能不能唯一确定三角形。

以SSS为例，可以解释为什么三条边的比例就够了：先把原三角形按 $k$ 放大，所得三角形的三边已与目标三角形分别相等；再用三边全等判定，可把它通过移动或翻转与目标三角形重合。因此目标确实是原图形的等比例放大。这一步依赖三角形由三条边确定形状的性质。

换成任意四边形，单查边长比例就不够了。一个边长为1的正方形，与一个边长也全为1、内角交替为60°和120°的菱形，四条对应边的比例全是1，角却不相等。前者两条对角线都为 $\sqrt{2}$ ，后者为1和 $\sqrt{3}$ ，所以也不满足“任意两点的距离都按同一倍数改变”。

为什么面积要乘两次倍数

回到三角板。原面积为 $S = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6 {c m}^{2} .$ 放大后的底为6厘米，高为4.5厘米，面积是 $S^{'} = \frac{1}{2} \times 6 \times 4.5 = 13.5 {c m}^{2} .$ 面积比为 $13.5 / 6 = 2.25$ ，恰好等于 $1. 5^{2}$ 。

这里出现平方，并不取决于这组数字是否方便。设原三角形的底为 $b$ 、高为 $h$ ；相似变换保持垂直关系，把高也变为 $k h$ 。于是 $S^{'} = \frac{1}{2} (k b) (k h) = k^{2} \frac{1}{2} b h = k^{2} S .$ 第一个 $k$ 来自底，第二个来自高。一般多边形可以拆成不重叠的三角形；每块面积都乘 $k^{2}$ ，把面积相加后，总面积仍乘 $k^{2}$ 。这一结论在欧几里得《几何原本》第六卷命题19中以比例理论的方式给出：相似三角形的面积比为对应边比的平方。

周长则只乘一次倍数。若原多边形边长为 $l_{1}, \dots, l_{m}$ ，新周长为 $P^{'} = k l_{1} + \dots + k l_{m} = k (l_{1} + \dots + l_{m}) = k P .$ 三角板的周长由12厘米变成18厘米，与面积由6平方厘米变成13.5平方厘米是两种不同的变化。

长度翻倍为两个单位长度，正方形边长翻倍可分成四个单位正方形，立方体边长翻倍可分成八个单位立方体 — 图中取k等于2以便直接数格子。面积的两个方向、体积的三个方向都在改变。

体积为什么再多一个倍数

图的最后一行把边长1的立方体换成边长2的立方体。每个方向能放两个单位小立方体，共有 $2 \times 2 \times 2 = 8$ 个。若长方体原来的长、宽、高为 $l, w, h$ ，同样有 $V^{'} = (k l) (k w) (k h) = k^{3} l w h = k^{3} V .$ 这也适用于相似棱柱：底面积乘 $k^{2}$ ，高乘 $k$ 。棱锥体积为底面积乘高再除以3，相同的常数因子不会改变体积比。将多面体分成相应的小棱锥或四面体，可以得到整个多面体的体积比。

更一般的有体积的实体，也可以用越来越细的小立方体逼近；每个小块的体积都乘 $k^{3}$ ，逼近极限保留这一比例。这里讨论的是实体所有三个方向一同缩放，不能只改变高度却仍套用立方关系。

量	相似后与原量之比	放大到1.5倍时
对应长度、周长	$k$	1.5
面积、表面积	$k^{2}$	2.25
体积	$k^{3}$	3.375

表面积也属于面积量；不过物体质量随体积同比变化，还要加上材料密度不变的假设。这一步已经从几何进入幂函数与尺度律的物理建模。

把相似比用于比例尺

现在为一块长18米、宽12米的矩形场地绘制平面图，规定比例尺为 $1 : 300$ 。美国地质调查局《Map Scales》用图上尺寸与实际尺寸的比例解释地图比例尺。这里实际场地按平面处理，图上距离与地面水平距离对应。

数字比例尺 $1 : n$ 的含义是 $\frac{图上长度}{实际长度} = \frac{1}{n},$ 而且分子、分母必须使用同一长度单位。先把18米化为1800厘米、12米化为1200厘米，再除以300： $l_{图} = 1800 / 300 = 6 c m, w_{图} = 1200 / 300 = 4 c m .$ 反向核对：图上6厘米乘300等于1800厘米，即18米。若直接把“6厘米与18米”写成 $6 : 18 = 1 : 3$ ，就把换单位这一步遗漏了。

图上面积为 $6 \times 4 = 24 {c m}^{2}$ 。从图上面积恢复地面面积，要乘比例尺分母的平方： $24 \times 30 0^{2} = 2160000 {c m}^{2} = 216 m^{2} .$ 最后用了 $1 m^{2} = 10000 {c m}^{2}$ 。直接计算实际长乘宽也得到 $18 \times 12 = 216 m^{2}$ ，两条路径一致。

同一十八米乘十二米场地，上图设定纸面六厘米乘四厘米，下图按百分之一百五十放大为九厘米乘六厘米，三米图示比例尺一同变长 — 示意的是两张纸图的尺寸关系。屏幕会自动缩放图片，图中的“厘米”是题目给定的纸面长度，不是屏幕上的实测长度。

复印放大后，比例尺怎样改变

如果把这张图横纵都复印到150%，纸上的长宽变为9厘米和6厘米。实际场地并没有扩大；新的图实长度比为 $\frac{9}{1800} = \frac{1}{200} .$ 所以新数字比例尺应为 $1 : 200$ 。一般地，原比例尺为 $1 : n$ ，图纸等比例放大 $k$ 倍后，新比例尺为 $k : n = 1 : (n / k)$ 。分母变小，表示图中同一对象画得更大；“大比例尺”比较的是这个分数的大小。

图中标注“3米”的比例尺线段，从原纸上的1厘米一同放大到1.5厘米。因为它和场地保持同一缩放比例，用它量取地面距离仍然有效。美国地质调查局的《Exploring Maps》也说明了图示比例尺随整图缩放后仍可使用的性质。前提是图与比例尺一起等比例缩放；单独拉长图片、裁下比例尺后另行缩放，都会破坏这种对应。

现实地图还涉及曲面投影、地形高差和测量精度。本篇的计算用于具有统一比例的平面图，或可在所需精度内近似采用局部比例的地图；沿山坡走过的距离与地图上的水平投影距离是不同的量。

变式：从面积反推长度

问题。仍制作与原三角板相似的新板，但要求面积变为原来的4倍。它的三边和周长各是多少？若将一个三维模型也按相同长度比放大，体积变为几倍？

解答。面积比满足 $k^{2} = 4$ 。由于相似比 $k > 0$ ，取 $k = 2$ 。三边依次为6、8、10厘米，周长为24厘米；三维模型体积变为 $2^{3} = 8$ 倍。面积乘4不意味着每条边都乘4。

改变条件再判断。若把原三角板在水平方向放大2倍、竖直方向放大1.5倍，两条直角边成为8厘米和4.5厘米，面积为18平方厘米，即原来的3倍。但对应边比分别为2与1.5，形状已改变；即使面积比已知，也不能从中求出一个适用于所有长度的相似比。

进一步阅读

比与比例提供统一比较方向和单位的方法；欧氏几何介绍三角形判定所依赖的几何关系；幂函数与尺度律把本篇的平方、立方比例写成函数，并检查这些比例何时能用于实际数据。

Euclid, Elements, VI.19，David E. Joyce网络版：相似三角形的面积比。
U.S. Geological Survey, Map Scales, Fact Sheet 015-02, 2002：比例尺的意义及图实比例。
U.S. Geological Survey, Exploring Maps：数字比例尺、图示比例尺与缩放。