平均曲率

平均曲率（mean curvature）描述曲面在一点沿各个切向方向弯曲的平均程度。对欧氏三维空间中的定向光滑曲面，设两条主曲率为 $k_{1}, k_{2}$ ，本文约定 $H = \frac{k_{1} + k_{2}}{2} .$ 主曲率是沿两个相互垂直的主方向测得的有符号法曲率。平均曲率具有长度倒数的量纲；曲面整体放大两倍，对应点的平均曲率就缩小为原来的一半。

平均曲率既不是两条主曲率的绝对值平均，也不等同于它们的乘积。鞍形曲面上，一个方向向上弯，另一个方向向下弯，贡献可能相互抵消。理解这种抵消，需要同时说明所选法向与符号约定。

法向变化与形算子

设曲面 $M \subset ℝ^{3}$ 至少二次连续可微，且在所讨论的局部片上选定一个连续可微单位法向场 $n$ 。对 $p \in M$ ，切平面 $T_{p} M$ 由沿曲面通过 $p$ 的曲线速度组成。法向沿切向量 $v$ 的方向导数记为 $D_{v} n$ 。对恒等式 $n \cdot n = 1$ 求导，得到 $n \cdot D_{v} n = 0$ ，所以 $D_{v} n$ 仍在当前切平面内。

本文采用形算子的约定 $S_{p} (v) = - D_{v} n, v \in T_{p} M .$ 负号使向上法向下的碗形图面在最低点具有正主曲率。相反，球面的外法向随位置向外张开，因而在这一约定下外法向球面的主曲率为负。文献也有 $S = D n$ 的约定；更换约定会使全部有符号主曲率及 $H$ 反号。另一些文献将主曲率之和称为平均曲率，相当于本文的 $2 H$ ，比较公式时两种差异都要核对。^[1]

为看出形算子的对称性，取正则参数曲面 $X (u^{1}, u^{2})$ ，令 $X_{i} = \partial_{i} X$ ，并记 $g_{i j} = X_{i} \cdot X_{j}, b_{i j} = n \cdot X_{i j} .$ 前者是曲面的第一基本形式系数，后者是第二基本形式系数。对 $n \cdot X_{j} = 0$ 沿 $u^{i}$ 求导： $(D_{X_{i}} n) \cdot X_{j} + n \cdot X_{i j} = 0.$ 因此 $⟨ S X_{i}, X_{j} ⟩ = b_{i j} = b_{j i} = ⟨ X_{i}, S X_{j} ⟩ .$ 由线性性，这个等式对任意两个切向量成立，所以 $S$ 对切平面的内积是自伴算子。实内积空间的谱定理于是保证：存在标准正交基 $e_{1}, e_{2}$ ，使 $S e_{1} = k_{1} e_{1}, S e_{2} = k_{2} e_{2} .$ 两个特征值就是主曲率，特征向量方向就是主方向。当 $k_{1} = k_{2}$ 时，每个切向方向都是主方向，不存在唯一的一对特殊方向。

法截面与方向平均

通过点 $p$ ，取曲面内一条单位速曲线 $α (s)$ ，满足 $α (0) = p$ 、 $α^{'} (0) = v$ 。其加速度沿曲面法向的分量称为该方向的法曲率： $k_{n} (v) = α^{″} (0) \cdot n (p) .$ 虽然沿同一切向可以选择不同曲线，这个量只由该点及切向决定。证明是把 $α^{'} (s) \cdot n (α (s)) = 0$ 求导，得到 $α^{″} (0) \cdot n (p) = - v \cdot D_{v} n = ⟨ S v, v ⟩ .$ 右端不含曲线的其他信息。包含 $v$ 与 $n$ 的平面称为法截平面；曲面与该平面的局部交线给出直观的法截曲率。对不按单位速度给出的曲线，应使用 $α^{″} \cdot n / ‖ α^{'} ‖^{2}$ ，不能漏掉速度平方。

把单位切向量写成 $v = \cos θ e_{1} + \sin θ e_{2}$ ，代入上式并利用正交性，逐项得到 Euler 法曲率公式： $k_{n} (θ) = k_{1} \cos^{2} θ + k_{2} \sin^{2} θ .$ 于是 $\frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} k_{n} (θ) d θ = \frac{k_{1} + k_{2}}{2} = H,$ 因为正弦平方和余弦平方在整周上的积分都为 $π$ 。这给出“平均”的准确含义：在切平面中按均匀角度平均有符号法曲率。它不是按曲面上某块区域平均，也不要求把许多不同空间点混在一起。^[2]

主曲率三和负一的法曲率随方向角变化，在零度为三，四十五度为一，九十度为负一，方向平均为一 — 曲线为 k_n(θ)=3cos²θ−sin²θ，虚线为 H=1。负法曲率与正法曲率一起参与有符号平均。

图面的平均曲率公式

实际计算可以不先找出两个主方向。设 $G = (g_{i j})$ 、 $B = (b_{i j})$ 。在坐标基 $X_{1}, X_{2}$ 中，形算子矩阵为 $G^{- 1} B$ ：这是由 $⟨ S X_{i}, X_{j} ⟩ = b_{i j}$ 解出算子的坐标所得。坐标基本身通常不正交，所以不能直接把 $B$ 的两个对角元相加当作曲率和。正确的式子是 $2 H = tr (G^{- 1} B) .$

现在令曲面是二次连续可微函数的图面 $X (x, y) = (x, y, f (x, y)),$ 并选向上的单位法向。为减少符号，记 $p = f_{x}$ 、 $q = f_{y}$ 、 $W = \sqrt{1 + p^{2} + q^{2}}$ 。计算得 $n = \frac{(- p, - q, 1)}{W}, G = (\begin{matrix} 1 + p^{2} & p q \\ p q & 1 + q^{2} \end{matrix}), B = \frac{1}{W} (\begin{matrix} f_{x x} & f_{x y} \\ f_{x y} & f_{y y} \end{matrix}) .$ 其中 $det G = 1 + p^{2} + q^{2} = W^{2} > 0$ ，故 $G^{- 1} = \frac{1}{W^{2}} (\begin{matrix} 1 + q^{2} & - p q \\ - p q & 1 + p^{2} \end{matrix}) .$ 把两个矩阵相乘，仅取所需的两个对角元： $(G^{- 1} B)_{11} = \frac{(1 + q^{2}) f_{x x} - p q f_{x y}}{W^{3}},$ $(G^{- 1} B)_{22} = \frac{(1 + p^{2}) f_{y y} - p q f_{x y}}{W^{3}} .$ 相加并除以二，得到 $H = \frac{(1 + f_{y}^{2}) f_{x x} - 2 f_{x} f_{y} f_{x y} + (1 + f_{x}^{2}) f_{y y}}{2 (1 + f_{x}^{2} + f_{y}^{2})^{3 / 2}} .$ 分母中的二来自本文“主曲率的算术平均”约定，幂 $3 / 2$ 则同时来自单位法向的归一化和逆度量。仅把二阶偏导数取平均，只有在该点 $f_{x} = f_{y} = 0$ 等特殊情况下才正确。

碗形与鞍形的完整算例

取教学用图面 $f (x, y) = \frac{3 x^{2} - y^{2}}{2} .$ 原点处一阶偏导均为零，二阶偏导为 $f_{x x} = 3$ 、 $f_{x y} = 0$ 、 $f_{y y} = - 1$ 。所以 $G = I$ 、 $S = diag (3, - 1)$ ，两条主方向为坐标轴方向， $k_{1} = 3, k_{2} = - 1, H = 1, K = k_{1} k_{2} = - 3.$ 这里 $K$ 是高斯曲率，取两个主曲率的乘积。图面在原点是鞍形，但平均曲率并不为零：两个相反方向的弯曲强度不相等。在 $4 5^{\circ}$ 方向，Euler 公式给出 $k_{n} = (3 - 1) / 2 = 1$ ，正好是平均值。

鞍形图面在两个主方向的法截线，横轴为切向距离t，绿线高度三t平方除二，金线高度负t平方除二，原点向上法向 — 将两个互相垂直的法截平面分别转到纸面上比较。原点的法曲率为 3 与 −1；两条截线并不位于同一个空间平面。

再移到同一图面的 $(x, y) = (1 / 3, 0)$ ，对应空间点为 $(1 / 3, 0, 1 / 6)$ 。此处 $p = 1$ 、 $q = 0$ 、 $W = \sqrt{2}$ ，于是 $G = (\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}), B = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) .$ 形算子的两个特征值为 $3 / (2 \sqrt{2})$ 和 $- 1 / \sqrt{2}$ ，故 $H = \frac{1}{2} (\frac{3}{2 \sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{4 \sqrt{2}} \approx 0.176777.$ 同一个函数的二阶偏导数没有变，平均曲率却从一变为约 $0.176777$ ，因为曲面已倾斜，单位切向与单位法向都发生变化。这是保留度量系数与归一化因子的实际作用。

变式。 改取 $f (x, y) = (x^{2} - y^{2}) / 2$ 。原点两条主曲率为 $1, - 1$ ，所以 $H (0, 0) = 0$ ；但整张曲面的公式为 $H (x, y) = \frac{y^{2} - x^{2}}{2 (1 + x^{2} + y^{2})^{3 / 2}},$ 并非恒为零。例如 $H (1, 0) = - 1 / (4 \sqrt{2})$ 。所以“鞍面在某一点平均曲率为零”不能推出它是处处平均曲率为零的极小曲面。

平面、圆柱与球面的对照

平面的单位法向是常向量，因而 $D_{v} n = 0$ ，所有主曲率及平均曲率均为零。

半径为 $R$ 的球面采用外法向 $n (p) = p / R$ 。任意切向量满足 $D_{v} n = v / R$ ，所以 $S = - \frac{1}{R} I, k_{1} = k_{2} = - \frac{1}{R}, H = - \frac{1}{R}, K = \frac{1}{R^{2}} .$ 两条主曲率都随法向反转而反号，乘积 $K$ 保持不变。

对半径为 $R$ 的圆柱，外法向在绕轴方向以速率 $1 / R$ 变化，沿轴方向不变化。因此 $k_{r o u n d} = - \frac{1}{R}, k_{a x i a l} = 0, H = - \frac{1}{2 R}, K = 0.$ 半径为二的球面与圆柱，平均曲率分别为 $- 1 / 2$ 与 $- 1 / 4$ 。球面两个方向都弯，圆柱只有一个主方向弯。

三个横截示意分别表示平面双方向零曲率、圆柱一个方向负一除R另一个零、球面两方向都负一除R，均标出法向约定 — 平面、圆柱和球面的主曲率对照。圆柱与球面的箭头选向外，蓝绿色法截圆向内弯，因而有符号法曲率为负。

这也展示平均曲率的外蕴性。把一张平面纸局部无拉伸地卷成圆柱，曲面内的长度、角度与测地线可通过展开对应，但平均曲率从零变成非零。仅知道曲面内部的黎曼度量，一般不能恢复它在三维空间中的平均曲率。

面积变化与零平均曲率

平均曲率还控制面积对法向移动的一阶变化。以下取一个具有紧闭包的定向光滑曲面参数片，仍记为 $M$ ，边界固定。取支撑完全落在片内部的光滑函数 $ϕ$ ，作微小变化 $X_{ε} = X + ε ϕ n .$ 对度量矩阵求 $ε$ 导数并在零处取值。含 $\partial_{i} ϕ$ 的项与切向量垂直，故 ${\frac{d}{d ε} g_{i j} (ε) |}_{0} = ϕ (n_{i} \cdot X_{j} + X_{i} \cdot n_{j}) = - 2 ϕ b_{i j} .$ 面积元是 $\sqrt{det G} d u^{1} d u^{2}$ 。使用正定矩阵的行列式求导公式，得到 ${\frac{d}{d ε} \sqrt{det G (ε)} |}_{0} = \frac{1}{2} \sqrt{det G} tr (G^{- 1} (- 2 ϕ B)) = - 2 H ϕ \sqrt{det G} .$ 积分后即为这一类变化的面积一阶变分： $A^{'} (0) = - 2 \int_{M} H ϕ d A .$ 正向与负向的任意内部微小变化都不能在一阶改变面积，当且仅当 $H = 0$ 。其中“仅当”可用局部试探函数验证：若某点 $H > 0$ ，连续性使它在一小片仍为正，选非负且非零的 $ϕ$ 支撑于该片，积分就严格为负； $H < 0$ 类似。

处处 $H = 0$ 的曲面称为极小曲面；名称中的“极小”不自动保证对所有同边界竞争曲面都具有最小面积。一阶驻值与真正的极小值之间还需要稳定性或其他全局论证。上面的图形鞍面变式则在更早的一步就不满足条件：它只在部分点有 $H = 0$ 。在曲面上的扩散与几何处理中，拉普拉斯贝尔特拉米算子还把嵌入坐标函数的二阶变化与平均曲率向量联系起来，符号同样依赖本文已说明的约定。

参考资料

↑ Chuu-Lian Terng，Math 162A Lecture Notes on Curves and Surfaces, Part I，University of California, Irvine，§2.6、§2.8，讲义页 26—31：形算子 $S = - D n$ 、自伴性及矩阵表达。该讲义将 $k_{1} + k_{2}$ 定义为平均曲率，本文采用其一半。访问日期：2026-10-25。
↑ Ross Ogilvie，Riemannian Geometry，Universität Mannheim，2024 年春季，第 1 章，§1.5 中 Euler 定理、定义 1.37 及引理 1.38。该处采用 $H = (k_{1} + k_{2}) / 2$ 。访问日期：2026-10-25。

[terng-1] Chuu-Lian Terng，Math 162A Lecture Notes on Curves and Surfaces, Part I，University of California, Irvine，§2.6、§2.8，讲义页 26—31：形算子 $S = - D n$ 、自伴性及矩阵表达。该讲义将 $k_{1} + k_{2}$ 定义为平均曲率，本文采用其一半。访问日期：2026-10-25。

[2] Ross Ogilvie，Riemannian Geometry，Universität Mannheim，2024 年春季，第 1 章，§1.5 中 Euler 定理、定义 1.37 及引理 1.38。该处采用 $H = (k_{1} + k_{2}) / 2$ 。访问日期：2026-10-25。

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