测地线

测地线（geodesic）是曲面或更一般的黎曼流形上，速度向量沿曲线自身保持平行的参数曲线。对欧氏空间中的光滑曲面，这意味着曲线的空间加速度没有切向分量，只有法向分量。它可以在三维空间中弯曲，例如圆柱上的等速螺线；“直”指的是曲面内部的几何，而不是空间中的直尺形状。

测地线与测地距离有关，但两者不是同一个对象。足够短的测地线段具有最短路性质；延长后的整段可能已不是两端之间的最短路径。参数也属于定义的一部分：沿同一路线忽快忽慢地运动，一般不再满足测地线方程。

圆柱上的路线与加速度

先看半径为一的无限长圆柱面 $$X(u,z)=(\cos u,\sin u,z),u,z\in ℝ.$$ 这里 $u$ 是绕轴转过的角，$z$ 是高度。参数 $u$ 相差 $2\pi$ 时对应同一位置，因而这个式子是周期参数表示，不是整个圆柱的一张一一对应坐标图；限制角度区间后才得到局部坐标。

取曲线 $$\gamma (t)=(\cos (at+b),\sin (at+b),ct+d).$$ 其中 $a,b,c,d$ 为常数。求两次导数： $${\gamma }^{\prime }(t)=(-a\sin (at+b),a\cos (at+b),c),$$ $${\gamma }^{″}(t)=-a^2(\cos (at+b),\sin (at+b),0).$$ 圆柱的外单位法向是 $n=(\cos u,\sin u,0)$。因此 ${\gamma }^{″}=-a^{2}n$，加速度完全垂直于曲面；速度大小则恒为 $\sqrt{a^2+c^2}$。当 $a,c$ 都非零时得到螺线，$a=0$ 时是母线，$c=0$ 时是水平圆。这三种曲线在所给等速参数下都是测地线。一个水平圆能是圆柱的测地线，并不意味着它是包含该圆的水平平面的测地线：所用曲面不同，允许的切向方向也不同。

曲线从 A=(1,0,0) 到 B=(0,1,2)。金色箭头表示选定点的加速度方向；箭头长度作示意，不表示加速度大小。

这个例子也说明速度保持不变还不够。在平面上匀速绕圆运动时，向心加速度仍在该平面的切空间内，所以圆不是平面的测地线。

协变导数与测地线方程

曲面上不同点的切平面通常不同，不能把不同切平面中的速度分量直接相减而认为已经得到曲面内的变化。对欧氏空间中的曲面，先在空间中求导，再投影回当前切平面，得到沿曲线的协变导数。若 $V(t)$ 是沿曲线的切向量，则 $$\frac{DV}{dt}={\mathrm{proj}}_{T_{\gamma (t)}M}{V}^{\prime }(t).$$ 在一般光滑黎曼流形上，使用由度量确定的 Levi-Civita 联络。它给出同样的“沿曲线比较切向量”的求导规则；该规则与内积相容，且无挠。本文中的测地线均采用这一联络。

定义。 设 $(M,g)$ 为光滑黎曼流形，$I\subseteq ℝ$ 为区间。二次连续可微曲线 $\gamma :I\to M$ 满足 $$\frac{D{\gamma }^{\prime }}{dt}={\mathrm{\nabla }}_{{\gamma }^{\prime }}{\gamma }^{\prime }=0$$ 时，称为测地线。常值曲线也包含在定义内；非恒定测地线的速度不会降到零。

用局部坐标 $x^1,\dots ,x^m$ 计算时，令 ${\partial }_i=\partial /\partial x^i$ 表示坐标方向的切向量，写 $${\mathrm{\nabla }}_{{\partial }_i}{\partial }_j=\sum _{k=1}^m{\Gamma }_{ij}^k{\partial }_k.$$ 系数 ${\Gamma }_{ij}^k$ 称为 Christoffel 系数。它们记录基向量本身怎样随位置变化，并不是额外施加的力。若 $g_{ij}=g({\partial }_i,{\partial }_j)$，而 $(g^{ij})$ 为矩阵 $(g_{ij})$ 的逆，则 $${\Gamma }_{ij}^k=\frac{1}{2}\sum _{\ell =1}^m{g}^{k\ell }({\partial }_i{g}_{j\ell }+{\partial }_j{g}_{i\ell }-{\partial }_{\ell }{g}_{ij}).$$ 下标 $i,j$ 的对称性对应无挠性。这个表达式来自联络的度量相容性和无挠性；此处用它把已有度量转成可计算的微分方程。

写 ${\gamma }^{\prime }(t)=\sum _j{\dot{x}}^j(t){\partial }_j$。对系数和基向量分别求导，得到 $$\frac{D{\gamma }^{\prime }}{dt}=\sum _k({\ddot{x}}^k+\sum _{i,j}{\Gamma }_{ij}^k(x(t)){\dot{x}}^i{\dot{x}}^j){\partial }_k.$$ 因此测地线方程为 $${\ddot{x}}^k+\sum _{i,j=1}^m{\Gamma }_{ij}^k(x(t)){\dot{x}}^i{\dot{x}}^j=0,k=1,\dots ,m.$$ 它是二阶常微分方程组。光滑系数保证给定初始位置 $p$ 与初始速度 $v\in T_{p}M$ 后，存在唯一的局部解，并可延拓成唯一的最大解；这项结论使用常微分方程的局部存在唯一性定理，不保证最大解对所有实数时间都有定义。

恒速与仿射参数

度量相容性允许像普通内积那样求导： $$\frac{d}{dt}g({\gamma }^{\prime },{\gamma }^{\prime })=2g(\frac{D{\gamma }^{\prime }}{dt},{\gamma }^{\prime })=0.$$ 所以测地线恒速；若初始速度非零，就始终非零。这里证明了“测地线必恒速”，没有证明反命题。

再令 $\beta (s)=\gamma (\phi (s))$，其中 $\phi$ 二次连续可微且 ${\phi }^{\prime }(s)\ne 0$。链式法则给出 $$\frac{D{\beta }^{\prime }}{ds}=({\phi }^{\prime }{)}^2\frac{D{\gamma }^{\prime }}{dt}+{\phi }^{″}{\gamma }^{\prime }={\phi }^{″}{\gamma }^{\prime }.$$ 对非恒定测地线，最后一式为零当且仅当 ${\phi }^{″}=0$，即 $\phi (s)=As+B$、$A\ne 0$。因此保留测地线方程的正则换参恰为仿射换参。按弧长行进是其中一种常用选择。

上排为 γ(t)=(t,0)，下排为 β(s)=(s²,0)，取相同的四分之一参数间隔。下排几何轨迹仍是直线，但 β=(2,0)，不满足仿射参数的测地线方程；正则性比较取 0<s<1。

在欧氏平面的直角坐标中，度量为常数矩阵，所有 Christoffel 系数都为零，方程退化为 $\ddot{x}=\ddot{y}=0$，所以解是 $(x,y)=(a_{1}t+b_1,a_{2}t+b_2)$。这正是带恒定速度的直线。若换成极坐标，度量变成 $d{r}^2+r^{2}d{\theta }^2$，虽然平面没有因此弯曲，方程却写成 $$\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2=0,\ddot{\theta }+\frac{2}{r}\dot{r}\dot{\theta }=0(r>0).$$ 这里 ${\Gamma }_{\theta \theta }^r=-r$、${\Gamma }_{r\theta }^{\theta }={\Gamma }_{\theta r}^{\theta }=1/r$。非零系数可以只来自坐标基的变化，不能单凭它们判断空间是否具有曲率。

圆柱展开与绕行次数

回到半径为 $R>0$ 的无限长圆柱 $$X(u,z)=(R\cos u,R\sin u,z).$$ 求导得到 $X_u=(-R\sin u,R\cos u,0)$、$X_z=(0,0,1)$，内积为 $$g_{uu}=R^2,g_{uz}=0,g_{zz}=1.$$ 因此长度元为 $d{s}^2=R^{2}d{u}^2+d{z}^2$。取展开坐标 $s=Ru$ 后成为 $d{s}^2+d{z}^2$，在不拉伸圆柱的局部展开中，长度与平面相同；测地线对应展开平面的等速直线。这也由所有系数恒定、测地线方程 $\ddot{u}=\ddot{z}=0$ 直接推出。

给定 $A=X(0,0)$、$B=X(\alpha ,h)$，其中可取 $-\pi \le \alpha \le \pi$，则 $B$ 在展开平面有无穷多个代表点 $$B_k=(R(\alpha +2\pi k),h),k\in \mathbb{Z}.$$ 整数 $k$ 区分绕轴的路线类别。沿任何从 $A$ 出发的连续圆柱路径，都可连续选择角度：在每个足够小的局部片上选一支角度，跨片时加减 $2\pi$ 使数值连续。由于起点角度固定为零，终点角度只能是 $\alpha +2\pi k$。对分段光滑路径，这样得到的展开路径也分段光滑，且长度保持不变。

展开后连接 $(0,0)$ 与 $B_k$ 的任意路径 $c$ 满足 $$L(c)=\int \Vert c^{\prime }(t)\Vert dt\ge \Vert \int c^{\prime }(t)dt\Vert =\sqrt{R^2(\alpha +2\pi k{)}^2+h^2}.$$ 等速线段达到这个下界，卷回去得到 $${\gamma }_k(t)=X((\alpha +2\pi k)t,ht),0\le t\le 1.$$ 故圆柱上的内蕴距离为 $$d(A,B)=\underset{k\in \mathbb{Z}}{min}\sqrt{R^2(\alpha +2\pi k{)}^2+h^2}.$$ 这给出了该圆柱情形的完整最短路证明：既比较了同一绕行类别内的路径，也比较了所有可能的绕行类别。它没有把“某一条曲线满足测地线方程”直接当作全局最短的证明。

单位圆柱上同一对端点对应三条展开直线。实线的绕行量最小；两条虚线仍对应测地线，但整段较长。

可复算的端点例子

取 $R=1$、$\alpha =\pi /2$、$h=2$，即前图的 $A=(1,0,0)$、$B=(0,1,2)$。三条路径的长度分别为 $$L_0=\sqrt{{\pi }^2/4+4}\approx 2.543109,$$ $$L_{-1}=\sqrt{9{\pi }^2/4+4}\approx 5.119239,L_1=\sqrt{25{\pi }^2/4+4}\approx \mathrm{8.104630.}$$ 三者都满足测地线方程，只有 $k=0$ 给出全局最短路径。这里坐标中的圆柱半径与高度采用同一长度单位。

变式。 把终点改为 $B=(-1,0,2)$，其角度取 $\alpha =\pi$。此时 $k=0$ 与 $k=-1$ 的角度变化分别为 $\pi$ 和 $-\pi$，两条不同的最短螺线长度都为 $\sqrt{{\pi }^2+4}\approx 3.724192$。其他整数给出绝对值更大的角度变化，长度严格更大。这是最短路不唯一的具体例子。

局部最短、延拓与适用范围

在光滑黎曼流形内部，每个点都有足够小的正常邻域，使从该点出发的适当短测地线段实现该邻域内两端之间的距离。一般证明使用指数映射和 Gauss 引理，此处不由圆柱的特殊展开推广得出。 “足够短”依赖所在位置和路线。圆柱上绕轴多圈的例子已经表明，局部最短不能直接延伸成任意长段的全局最短。

测地线能延拓多久还依赖空间是否完整。例如在带欧氏度量的开圆盘中，从原点沿径向匀速行进，有限时间就到达未包含在空间内的边界，因而不能继续作为该空间中的曲线。若把边界也加入，允许沿边界行走的最短路问题又需要单独说明约束，不能直接套用无边界流形内部的方程。

与平均曲率比较时也应区分对象：测地线描述曲面内部的曲线路径；平均曲率描述曲面本身在环境空间中的弯曲。圆柱与平面局部等距，测地线可通过展开对应，而它们的平均曲率并不相同。