黎曼度量

黎曼度量（Riemannian metric）是在光滑流形的每一点切空间上指定一个内积，并要求内积随点光滑变化的几何结构。它先测量同一点处两个切向量的长度与夹角，再由曲线的速度定义弧长，进而形成测地距离。这里“度量”指一族内积，不是直接输入两个点、输出距离的函数。

在平面上，长度平方通常写成 $a^{2} + b^{2}$ ；若规定它为 $2 a^{2} + b^{2}$ ，同一个坐标位移 $(1, 0)$ 的长度就变成 $\sqrt{2}$ ，而 $(0, 1)$ 的长度仍为一。这样的规则可以随位置变化。读懂黎曼度量的第一步，就是区分“坐标分量是多少”与“这些分量表示多长”。

切空间上的内积

设 $M$ 是 $n$ 维光滑流形， $T_{p} M$ 是点 $p$ 处的切空间，可理解为通过该点的曲线可能具有的速度所组成的线性空间。黎曼度量为每个 $p \in M$ 指定双线性函数 $g_{p} : T_{p} M \times T_{p} M ⟶ ℝ,$ 满足对称性 $g_{p} (v, w) = g_{p} (w, v)$ ，以及正定性 $g_{p} (v, v) > 0$ 对所有非零 $v \in T_{p} M$ 成立。最后还要求它在局部光滑坐标中的系数是光滑函数。带有这种结构的 $(M, g)$ 称为黎曼流形。^[1]

在坐标 $x^{1}, \dots, x^{n}$ 中，把切向量写成 $v = \sum_{i} v^{i} \partial_{i}$ ，其中 $\partial_{i} = \partial / \partial x^{i}$ 。令 $g_{i j} (p) = g_{p} (\partial_{i}, \partial_{j}), G (p) = (g_{i j} (p)) .$ 双线性给出 $g_{p} (v, w) = \sum_{i, j} g_{i j} (p) v^{i} w^{j} = v^{𝖳} G (p) w .$ 因此矩阵 $G (p)$ 必须实对称正定，但它只是在当前坐标基下的表示。常见的简写 $d s^{2} = \sum_{i, j} g_{i j} d x^{i} d x^{j}$ 表示这个二次型：沿一条曲线代入 $d x^{i} = {\dot{x}}^{i} d t$ ，便得到速度长度平方乘以 $d t^{2}$ 。它不是把有限点差代入后总能得到两点距离的公式。

长度和非零向量的夹角分别定义为 $‖ v ‖_{g} = \sqrt{g_{p} (v, v)}, \cos α = \frac{g_{p} (v, w)}{‖ v ‖_{g} ‖ w ‖_{g}} .$ 这里两个向量必须位于同一个切空间。比较不同点的向量，通常还需要指定平行移动等额外过程。

二维正定性与交叉项

设某点的矩阵为 $G = (\begin{matrix} E & F \\ F & H \end{matrix}) .$ 它正定当且仅当 $E > 0$ 且 $E H - F^{2} > 0$ 。这个判断可由配方完整得到： $E a^{2} + 2 F a b + H b^{2} = E {(a + \frac{F}{E} b)}^{2} + \frac{E H - F^{2}}{E} b^{2} .$ 两系数都为正时，任意非零 $(a, b)$ 的平方长度严格为正。反过来，正定性先以 $(a, b) = (1, 0)$ 给出 $E > 0$ ，再以 $(a, b) = (- F / E, 1)$ 给出 $(E H - F^{2}) / E > 0$ 。

例如 $G = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix})$ 合法，但坐标基向量不正交，因为 $g (e_{1}, e_{2}) = 1$ 。它们长度均为 $\sqrt{2}$ ，夹角余弦为 $1 / 2$ ，所以夹角是六十度。把交叉项直接删去，会改变几何结构；反过来，出现交叉项本身并不说明空间弯曲，它也可能只是非正交坐标造成的。

矩阵 $diag (1, 0)$ 则不合法：非零向量 $(0, 1)$ 长度为零。 $diag (1, - 1)$ 会使某些平方长度为负，也不是黎曼度量；允许这种非退化但不正定的结构，会进入伪黎曼几何。

曲面继承的长度规则

考虑抛物柱面的一块参数表示 $Φ (u, v) = (u, v, u^{2} / 2), (u, v) \in ℝ^{2} .$ 沿 $u$ 增加时，曲面同时向上升；沿 $v$ 增加时，高度不变。两条参数方向的切向量为 $Φ_{u} = (1, 0, u), Φ_{v} = (0, 1, 0) .$ 参数速度 $(a, b)$ 对应空间切向量 $d Φ (a, b) = a Φ_{u} + b Φ_{v} = (a, b, u a) .$ 直接计算它的欧氏长度平方，得到 $‖ d Φ (a, b) ‖^{2} = (1 + u^{2}) a^{2} + b^{2} .$ 所以这张曲面的诱导度量为 $G (u, v) = (\begin{matrix} 1 + u^{2} & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}), d s^{2} = (1 + u^{2}) d u^{2} + d v^{2} .$ 这不是另加的距离假设，而是把三维环境中的欧氏内积限制到曲面切方向后得到的规则。一般参数曲面 $Φ$ 的系数为 $g_{i j} = Φ_{i} \cdot Φ_{j}$ 。只要微分 $d Φ$ 对切向量是单射，非零参数向量的像就非零，因而此二次型正定；若参数化降秩，这一步便失效。^[1]

抛物柱面参数域三个点的单位切向量椭圆，横向半轴依次为一、一除以根号二、一除以根号五 — 在 u=0、1、2 处，满足 (1+u²)a²+b²=1 的单位切向量集合逐渐横向收窄。图画在各点的参数分量平面中，共用分量刻度；向量越短并不表示该点允许的物理长度越小，而是同样的参数变化已经对应更长的空间切向量。

在 $u = 1$ 的点，取 $v_{1} = (1, 1)$ 、 $v_{2} = (0, 1)$ 。有 $‖ v_{1} ‖_{g} = \sqrt{3}, ‖ v_{2} ‖_{g} = 1, g (v_{1}, v_{2}) = 1.$ 因此它们夹角为 $\arccos (1 / \sqrt{3})$ ，约 $54.73 6^{\circ}$ 。用参数纸面上的四十五度代替这个角，就忽略了曲面在 $u$ 方向的倾斜。若把点换到 $u = 0$ ，同样的两个参数向量夹角才为四十五度；在 $u = 2$ 处则为 $\arccos (1 / \sqrt{6})$ 。

同一度量的坐标变换

设旧坐标为 $x$ ，新坐标为 $y$ ，且 $x = x (y)$ 是光滑可逆的局部坐标变换。记雅可比矩阵 $J = \partial x / \partial y$ 。新分量为 $v_{y}$ 的同一个切向量，在旧坐标中的分量是 $v_{x} = J v_{y}$ ，因此 $g (v, w) = v_{y}^{𝖳} J^{𝖳} G_{x} J w_{y} .$ 由任意向量的配对都相同，得到坐标变换公式 $G_{y} = J^{𝖳} G_{x} J .$ 正定性也被保留： $J$ 可逆时，非零 $v_{y}$ 的像 $J v_{y}$ 非零，所以 $v_{y}^{𝖳} G_{y} v_{y} > 0$ 。度量系数随坐标变化，而内积数值本身不变。^[1]

在上述柱面上改用 $u = s + t, v = t$ ，有 $J = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) .$ 在 $u = 1$ 的点，旧矩阵为 $diag (2, 1)$ ，于是 $G_{(s, t)} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix}) .$ 新基向量 $\partial_{s} = \partial_{u}$ ， $\partial_{t} = \partial_{u} + \partial_{v}$ ，不再正交，因而产生交叉项。取新分量 $(1, - 1)$ ，旧分量为 $J (1, - 1)^{𝖳} = (0, - 1)^{𝖳}$ 。两边的平方长度分别算得 $2 - 4 + 3 = 1$ 和 $1$ ，完全一致。

弧长与面积元素

对分段 $C^{1}$ 曲线 $γ : [a, b] \to M$ ，定义 $L_{g} (γ) = \int_{a}^{b} \sqrt{g_{γ (t)} (\dot{γ} (t), \dot{γ} (t))} d t .$ 例如在参数域取 $u = t, v = 0, 0 \leq t \leq 1$ 。沿柱面走过的长度为 $L_{g} = \int_{0}^{1} \sqrt{1 + t^{2}} d t = \frac{1}{2} (\sqrt{2} + \log (1 + \sqrt{2})) \approx 1.147794.$ 这里用到原函数 $\frac{1}{2} (t \sqrt{1 + t^{2}} + arsinh t)$ ，对它求导可还原被积函数。端点在参数纸面上的距离为一，在三维空间中的直线弦长为 $\sqrt{5} / 2 \approx 1.118034$ ，均与沿曲面的这条路径长度不同；也不能仅计算一条路径就宣称它一定最短。两点间对所有允许路径取长度下确界，才得到测地距离。^[2]

面积也来自同一个内积。两切向量 $A, B$ 张成的平行四边形面积平方为 $‖ A ‖^{2} ‖ B ‖^{2} - (A \cdot B)^{2}$ ，因为高为 $‖ B ‖ \sin α$ 。应用于参数基向量，得到 $d A_{g} = \sqrt{det G (u, v)} d u d v .$ 柱面上便是 $\sqrt{1 + u^{2}} d u d v$ 。参数矩形 $0 \leq u \leq 1, 0 \leq v \leq 2$ 的曲面面积为 $A_{g} = 2 \int_{0}^{1} \sqrt{1 + u^{2}} d u = \sqrt{2} + \log (1 + \sqrt{2}) \approx 2.295587.$ 乘以二是因为 $v$ 方向宽度为二，而不是再改变度量。

抛物柱面参数矩形及其曲面像，沿u方向的网格线随斜率增大拉长 — 左图是 0≤u≤1、0≤v≤2 的参数矩形；右图是 Φ(u,v)=(u,v,u²/2) 的空间投影。参数小格相同，曲面上的面积因子 √(1+u²) 却随 u 增大。空间图为斜投影，不用于直接量取角度。

梯度依赖于度量

标量函数 $f$ 的微分 $d f_{p} (v)$ 先给出沿 $v$ 的变化率，它本身不需要长度规则。梯度则是在给定 $g$ 后，由 $g_{p} ({grad}_{g} f, v) = d f_{p} (v) 对所有 v \in T_{p} M$ 唯一确定的向量。把 $d f$ 的坐标系数排成列 $b = (\partial_{1} f, \dots, \partial_{n} f)^{𝖳}$ ，等式变为 $({grad}_{g} f)^{𝖳} G v = b^{𝖳} v$ ，所以 ${grad}_{g} f = G^{- 1} b .$ 正定性保证 $G$ 可逆。由内积中的柯西不等式，对单位向量 $‖ v ‖_{g} = 1$ ，有 $d f (v) = g ({grad}_{g} f, v) \leq ‖ {grad}_{g} f ‖_{g} .$ 梯度非零时，在 $v = {grad}_{g} f / ‖ {grad}_{g} f ‖_{g}$ 取等号，因而这就是单位长度下增长最快的方向。这一论证说明，改变度量后“单位步长”的含义改变，最速方向也会改变。

在柱面例子的 $u = 1$ 处，取 $f (u, v) = u + v$ 。有 $b = (1, 1)$ ，但 ${grad}_{g} f = (1 / 2, 1), ‖ {grad}_{g} f ‖_{g} = \sqrt{3 / 2} .$ 归一化后的最速方向为 $v_{*} = (1 / \sqrt{6}, \sqrt{2 / 3}),$ 它满足 $2 (v_{*}^{1})^{2} + (v_{*}^{2})^{2} = 1$ ，增长率为 $v_{*}^{1} + v_{*}^{2} = \sqrt{3 / 2}$ 。若错误地把普通偏导列 $(1, 1)$ 当作这里的梯度，即使再按 $g$ 归一化，方向 $(1, 1) / \sqrt{3}$ 的增长率也只有 $2 / \sqrt{3} < \sqrt{3 / 2}$ 。

单位度量椭圆与函数a加b的等值直线在最速单位方向处相切 — 在 u=1 处，单位步长满足 2a²+b²=1。直线 a+b=常数向右上移动，到椭圆的切点 v*=(1/√6,√(2/3)) 取得最大增长率；虚线方向为普通坐标中的对角线。

变式。 在 $u = 2$ 处仍取 $f = u + v$ ，此时 $G = diag (5, 1)$ 。解 $G {grad}_{g} f = (1, 1)^{𝖳}$ ，得到梯度 $(1 / 5, 1)$ ，最大单位增长率为 $\sqrt{6 / 5}$ ，最速单位方向为 $(1 / \sqrt{30}, \sqrt{5 / 6})$ 。代入 $5 a^{2} + b^{2} = 1$ 与 $a + b = \sqrt{6 / 5}$ 即可核对。

内蕴几何的范围

度量描述的是流形内部怎样量长度和角度，不由嵌入外形单独决定。例如半径 $R > 0$ 的圆柱参数化 $Ψ (θ, z) = (R \cos θ, R \sin θ, z)$ ，诱导度量为 $R^{2} d θ^{2} + d z^{2}$ 。在不绕过接缝的局部区域令 $s = R θ$ ，便成为 $d s^{2} + d z^{2}$ 。圆柱可以局部展开为平面而保持度量，但整根圆柱的周期识别仍与平面不同。

反过来，同一个参数域也可人为指定不同度量，得到不同的长度、面积与梯度；不能看到矩阵含有变量，就立即断言曲率非零。判断测地线和曲率需要进一步利用度量的变化规律。拉普拉斯贝尔特拉米算子则把梯度、散度推广到带度量的空间；这些构造都从本文的内积规则出发，而不是直接沿用坐标纸面上的距离。

参考资料

↑ ^1.0 ^1.1 ^1.2 Ross Ogilvie：Riemannian Geometry，Chapter 3: Metrics and Connections，Universität Mannheim，2024年春季，§3.1，定义3.1、坐标变换公式及定义3.4的诱导度量。访问日期：2026年10月25日。
↑ Ross Ogilvie：Riemannian Geometry，Chapter 4: Geodesics，2024年春季，§4.3“Length and Distance”，定义4.15。访问日期：2026年10月25日。

[og3-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 Ross Ogilvie：Riemannian Geometry，Chapter 3: Metrics and Connections，Universität Mannheim，2024年春季，§3.1，定义3.1、坐标变换公式及定义3.4的诱导度量。访问日期：2026年10月25日。

[og4-2] Ross Ogilvie：Riemannian Geometry，Chapter 4: Geodesics，2024年春季，§4.3“Length and Distance”，定义4.15。访问日期：2026年10月25日。

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