平行四边形面积

平行四边形的面积等于底乘对应的高：$A=bh$。底可任选一边；高是与这条底垂直的两条平行线之间的距离，不一定是斜边的长度。

剪下并平移一块三角形

设底边长 $b$、到底边对边的垂距为 $h$。从一侧斜边的顶点向底边所在直线作垂线，把左端的直角三角形剪下，平移到右端，就拼成宽 $b$、高 $h$ 的矩形。剪拼没有重叠或空隙，面积保持，所以 $A=bh$。即使垂足落在底边延长线上，也可用同样的平移或把图形补成更大的矩形证明。

虚线标出垂高 h，左侧三角形平移到右侧后，底 b 与高 h 没变。

若一条边长为5厘米、对应垂高为3厘米，面积是15平方厘米；另一条斜边即使长4厘米，也不能直接算 $5\times 4$，除非两边恰好垂直。

坐标形式与方向

若从同一顶点出发的两条边向量是 $u=(a,b)$、$v=(c,d)$，则面积 $|ad-bc|$。理由是 $|u|\cdot |v|\sin \theta$ 等于底乘垂高，而二维行列式 $ad-bc$ 恰为带方向的这个乘积。取 $u=(3,1)$、$v=(1,2)$，得到 $|3\cdot 2-1\cdot 1|=5$ 平方单位。若行列式为零，两边平行，所谓平行四边形退化成线段，面积为零。

同底同高的平行四边形面积相同，即使上边向左右移动、斜度改变。三角形的面积公式在同底同高下恰是它的一半，因为一条对角线把平行四边形分成两个全等三角形。

参考资料

• OpenStax《Contemporary Mathematics》§10.6：平行四边形面积公式。
• 《几何原本》第一卷命题35：同底同高的平行四边形面积关系。