得分检验

得分检验（score test，又称拉奥检验、拉格朗日乘数检验）在零假设模型附近考察对数似然的斜率。如果零假设成立，该斜率应当只有符合抽样误差量级的波动；把斜率按信息量标准化，就得到检验统计量。它的一项计算特点是通常只需拟合受限的零假设模型。

考虑二十次独立伯努利试验、十四次成功，检验 $p_0=1/2$。对数似然的导数，即样本得分，为 $$U_n(p)=\frac{S}{p}-\frac{n-S}{1-p}=\frac{S-np}{p(1-p)}.$$ 在 $p_0=1/2$ 处，$U_n(p_0)=16$。斜率为正，说明在这个点略微增加成功率会改善拟合；但十六是否足够大，需要用零假设下的得分方差判断。

伯努利模型的完整标准化

因为零假设下 $𝔼S=n{p}_0$、$\mathrm{Var}S=n{p}_0(1-p_0)$，所以 $$\begin{array}{cc}{𝔼}_0{U}_n(p_0)& =0,\\ I_n(p_0)={\mathrm{Var}}_0{U}_n(p_0)& =\frac{n}{p_0(1-p_0)}.\end{array}$$ 这里 $I_n$ 是整个样本的信息量，而非单次试验的信息量。本例 $I_n=80$，于是 $$S_{\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}}=\frac{16^2}{80}=\mathrm{3.2.}$$ 等价的带符号形式为 $(14-10)/\sqrt{5}\approx 1.78885$。

固定内部点 $0<p_0<1$，中心极限定理直接给出 $$\frac{U_n(p_0)}{\sqrt{I_n(p_0)}}=\frac{S-n{p}_0}{\sqrt{n{p}_0(1-p_0)}}\stackrel{d}{\to }N(0,1).$$ 平方后即得 $S_{\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}}\stackrel{d}{\to }{\chi }_1^2$。本例的卡方近似尾概率约为 $0.07364$。这个证明既核对了分母，也说明把样本信息误写为单次信息会使统计量多出一个样本量因子。

局部二次似然中的含义

令 $d$ 表示从零假设参数出发的一项小位移，以期望信息近似负曲率，局部二次式为 $$q(d)=\ell (p_0)+U_n(p_0)d-\frac{1}{2}{I}_n(p_0)d^2.$$ 二次函数在 $d_{\ast }=U_n/I_n$ 达到最大值；代回可得 $$2\{q(d_{\ast })-q(0)\}=\frac{U_n(p_0{)}^2}{I_n(p_0)}.$$ 因此得分统计量等于这个二次近似允许的最大对数似然改善的两倍。本例 $d_{\ast }=0.2$，近似峰位是 $0.7$；恰巧等于伯努利最大似然估计，但二次式的高度仍只是近似。

以零假设处对数似然为零。二次峰高为1.6，对应得分统计量3.2；精确峰高约1.64566，对应似然比统计量约3.29132。

含干扰参数的有效信息

设要检验的参数为 $\psi \in {ℝ}^k$，干扰参数为 $\eta \in {ℝ}^m$。零假设固定 $\psi ={\psi }_0$，而 $\eta$ 由受限拟合得到 $\tilde{\eta }$。在内部受限极值及通常可微条件下，干扰得分 $U_{\eta }$ 为零，但两个参数方向仍可能相关，不能只取信息矩阵左上角。

将整个样本的期望信息按两个参数分块，假设它正定： $$I_n=\left(\begin{array}{cc}{I}_{\psi \psi }& I_{\psi \eta }\\ I_{\eta \psi }& I_{\eta \eta }\end{array}\right).$$ 在受限拟合点作二次展开。给定待检方向位移 $d_{\psi }$，关于干扰位移的最优解为 $$d_{\eta }=-I_{\eta \eta }^{-1}{I}_{\eta \psi }{d}_{\psi }.$$ 代回二次式，得到有效曲率及统计量 $$\begin{array}{cc}{I}_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}& =I_{\psi \psi }-I_{\psi \eta }{I}_{\eta \eta }^{-1}{I}_{\eta \psi },\\ S_{\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}}& =U_{\psi }^{𝖳}{I}_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}^{-1}{U}_{\psi }.\end{array}$$ 这些量在 $({\psi }_0,\tilde{\eta })$ 处计算。在正则条件下，受限拟合的影响恰好对应这一消去干扰方向的修正，极限为 ${\chi }_k^2$。一般模型的正则条件、投影论证及观测信息与期望信息的替代见Geyer讲义。

更换零假设的变式

仍取 $n=20,S=14$，改检验 $p_0=0.6$，则 $$\begin{array}{cc}{U}_n(0.6)& =\frac{14-12}{0.6\times 0.4}=\frac{25}{3},\\ I_n(0.6)& =\frac{20}{0.6\times 0.4}=\frac{250}{3},\\ S_{\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}}& =\frac{(25/3{)}^2}{250/3}=\frac{5}{6}.\end{array}$$ 改变假设点后，斜率和信息量都要重新计算，不能沿用 $p_0=0.5$ 的分母八十。

原假设 $p_0=0.5$ 下，同一数据的似然比检验统计量约为 $3.2913$，概率坐标瓦尔德检验约为 $3.8095$，得分检验为 $3.2$。三者分别比较最优似然、在估计点度量参数偏离、在假设点度量斜率；正则大样本下有共同的一阶极限，有限样本没有普遍相同或固定大小次序的保证。

得分为零也未必表示模型正确，可能是局部对称或该方向无法识别。边界点、不可识别参数、错误概率模型或奇异信息都需要另行分析；如果只是使用一个均值方程而没有完整密度，还需根据得分实际变异进行校准，不能自动调用普通似然的卡方定理。