瓦尔德检验

瓦尔德检验（Wald test）用参数估计值偏离零假设的程度，除以相应的估计标准误，再与渐近参照分布比较。它既可检验一个参数，也可同时检验多个光滑约束。估计量的渐近正态性和协方差估计的有效性，是这项检验的依据。

二十次独立伯努利试验中十四次成功，估计成功率 $\hat{p}=0.7$。检验 $p_0=0.5$ 时，估计值相差 $0.2$；这个差异是否大，还取决于二十次试验提供的精度。把 $\hat{p}$ 代入伯努利样本均值的方差，得到 $$\widehat{\mathrm{Var}}(\hat{p})=\frac{0.7\times 0.3}{20}=\mathrm{0.0105.}$$ 因此一维瓦尔德统计量为 $$W=\frac{(0.7-0.5{)}^2}{0.0105}=\frac{80}{21}\approx \mathrm{3.80952381.}$$ 相应的带符号标准化差约为 $1.9518$，卡方一自由度尾概率约 $0.05096$；它仍略大于 $0.05$，不能把四舍五入后的近似边界写成确定拒绝。

从参数误差到约束误差

设参数为 $\theta \in {ℝ}^p$，零假设写为 $r(\theta )=0$，其中 $r:{ℝ}^p\to {ℝ}^k$ 在真参数邻域连续可微。假设 $$\sqrt{n}(\hat{\theta }-{\theta }_0)\stackrel{d}{\to }{N}_p(0,V),$$ 且 $V$ 正定，$\hat{V}{\to }_{p}V$。令 $D=r^{\prime }({\theta }_0)$，要求 $D$ 为满行秩 $k$，因此 $k\le p$。这里 $V$ 是根号样本量误差的极限协方差；估计量本身的协方差近似为 $\hat{V}/n$。

由一阶泰勒展开，将估计误差通过约束函数的一阶线性项传播到极限分布，这一步称为德尔塔方法。零假设下 $$\sqrt{n}r(\hat{\theta })\stackrel{d}{\to }{N}_k(0,DV{D}^{𝖳}).$$ 记 $\hat{D}=r^{\prime }(\hat{\theta })$、$\hat{C}=\hat{V}/n$，样本统计量写成 $$\begin{array}{cc}{\hat{C}}_r& =\hat{D}\hat{C}{\hat{D}}^{𝖳},\\ W& =r(\hat{\theta }{)}^{𝖳}{\hat{C}}_r^{-1}r(\hat{\theta }).\end{array}$$ 因为 $D$ 满行秩、$V$ 正定，矩阵 $DV{D}^{𝖳}$ 正定。以它的逆平方根标准化上述极限正态，得到 $k$ 维标准正态向量；其坐标平方和服从 ${\chi }_k^2$。协方差的一致估计可由斯卢茨基定理代入，于是 $W\stackrel{d}{\to }{\chi }_k^2$。这个证明也说明，约束导数退化或协方差奇异时不能照搬公式。Geyer讲义给出光滑约束形式及其与极大似然检验的联系。

瓦尔德方法不要求所有估计量都是最大似然估计。只要所用估计量具有上述渐近展开，且协方差与真实抽样机制匹配，也可使用相同论证。例如有组内相关时，应使用适当的组协方差；“换成稳健标准误”不能修复估计目标错误或缺少独立组数的问题。

同一假设的非线性表示

一一变换 $\eta =\log [p/(1-p)]$ 把 $p=1/2$ 变成 $\eta =0$。德尔塔方法在内部点给出 $$\widehat{\mathrm{Var}}(\hat{\eta })=\frac{1}{n\hat{p}(1-\hat{p})}.$$ 于是用逻辑优势坐标构造的统计量为 $$\begin{array}{cc}{W}_{\eta }& =n\hat{p}(1-\hat{p}){[\log \frac{\hat{p}}{1-\hat{p}}]}^2\\ & =4.2{(\log \frac{7}{3})}^2\approx \mathrm{3.01523739.}\end{array}$$ 它的卡方近似尾概率约为 $0.08249$，不同于原坐标的 $0.05096$。两者检验相同的概率限制，有限样本差别来自非线性变换前后的一阶误差近似。正则内部点的大样本中它们渐近等价，有限样本却没有这种精确不变性。

实线使用概率坐标，虚线使用逻辑优势坐标，横虚线是卡方一自由度的百分之五临界值。曲线比较公式的坐标依赖；实际二十次试验的成功率估计只取二十一种离散值。

如果只是把约束左边乘一个可逆常矩阵 $A$，统计量则精确不变：约束向量变为 $Ar$，协方差变为 $A{C}_r{A}^{𝖳}$，相应逆矩阵抵消左右的 $A$。非线性变换改变高阶项，不能从这项线性不变性推出一般不变性。

区间反演与端点限制

主例的传统双侧百分之九十五瓦尔德区间为 $$0.7\pm 1.96\sqrt{0.0105}\approx (0.4992,0.9008).$$ 它刚好包含 $0.5$，与使用对应近似临界值的检验一致。这是大样本区间，不是二项分布的精确区间。样本成功率接近零或一时，区间可能超出 $[0,1]$；简单截断不会自动修复覆盖概率。

变式。 如果二十次全部失败，代入方差为零，概率坐标公式出现除零；逻辑优势估计也趋于负无穷。此时不能返回“标准误为零，所以已经无限精确”的结论。需要直接处理二项分布、使用合适的精确检验或另行构造区间。似然比检验、得分检验与瓦尔德检验在常规大样本下有共同的一阶理论，边界和小样本表现则必须分别核验。