循环向量

循环向量（cyclic vector）是一个迭代轨道能够张成整个向量空间的向量。若 $T:V\to V$，则 $v$ 循环意味着 $𝒞(T,v)=V$。这一性质比“非零向量”强：单个向量必须通过同一算子的反复作用，产生所有需要的方向。

当 $\dim V=n\ge 1$ 时，循环向量恰好使 $$v,Tv,\dots ,T^{n-1}v$$ 构成一组基。若这些向量提前相关，首次关系会使以后所有幂落在已经张成的空间中，无法再补足维数；反过来，这 $n$ 个独立向量已经给出全空间。

对角算子的可检验例子

取 $A=\mathrm{diag}(2,5)$。对 $v=(a,b{)}^{𝖳}$，迭代列矩阵为 $$\begin{array}{cc}K(v)& =(v,Av)=\left(\begin{array}{cc}a& 2a\\ b& 5b\end{array}\right),\\ detK(v)& =3ab.\end{array}$$ 因此两个坐标均不为零时才循环。$v=(1,1)$ 可以，$e_1$ 不可以；后者的轨道永远停留在第一个坐标轴。不是“特征值不同”就使每个非零向量都循环。

一般地，对具有互异特征值 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ 的对角矩阵，$K(v)$ 的第 $i$ 行为 $v_i(1,{\lambda }_i,\dots ,{\lambda }_i^{n-1})$，故 $$detK(v)=\left(\prod _i{v}_i\right)\prod _{i<j}({\lambda }_j-{\lambda }_i).$$ Vandermonde 行列式非零，于是仍是每个特征方向上的分量都非零。对任意可对角化矩阵，应把“坐标”理解为特征向量基下的坐标。

循环基中的矩阵

若 $v$ 循环，设首次关系为 $$T^{n}v=-c_{0}v-c_{1}Tv-\cdots -c_{n-1}{T}^{n-1}v.$$ 在按 $v,Tv,\dots ,T^{n-1}v$ 排列的基下，前 $n-1$ 个基向量依次送到下一个，最后一个送到上述线性组合。所以矩阵为 $$\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& \cdots & 0& -c_0\\ 1& 0& \cdots & 0& -c_1\\ 0& 1& \cdots & 0& -c_2\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1& -c_{n-1}\end{array}\right),$$ 即相应多项式的友矩阵。下方一条次对角线为一；不同教材也使用其转置，读取递推方向时需先核对约定。

主例取 $v=(1,1)$，$P=(v,Av)=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 5\end{array}\right)$。因为 $A^2=7A-10I$，有 $$P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cc}0& -10\\ 1& 7\end{array}\right).$$ 这同一个算子从互不耦合的对角坐标，变成了沿一次迭代前进的循环坐标。

不存在循环向量的情形

若 $A=2I_n,n>1$，则任意 $A^{k}v=2^{k}v$ 都与 $v$ 共线，循环子空间至多一维，因而没有循环向量。更一般地，若矩阵的最小多项式次数小于 $n$，同一个归零关系就限制所有循环子空间维数，因此也不可能有循环向量。

通过循环分解定理还可得：有限维算子有循环向量，当且仅当最小多项式等于特征多项式。这里前向可由循环基的友矩阵直接证明，反向属于有理标准形给出的结构结论，并非仅凭两个多项式次数相同就能省略构造。

作为变式，$N=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$ 只有一个特征值，但 $e_2,N{e}_2=e_1$ 线性无关，所以仍有循环向量。互异特征值是前述对角例子的便利条件，不是循环性的定义。

参考文献

Sheldon Axler，Linear Algebra Done Right，第四版，§5A—5B（最小多项式、算子多项式）；本文例子与图解独立构造。