有理标准形

有理标准形（rational canonical form，也称 Frobenius 标准形）是任意数域上方阵的相似标准形。它由首一多项式的友矩阵组成分块对角矩阵，并要求这些多项式按整除关系排列。这里的“有理”并不要求所有元素都是有理数，而是强调不必为了找特征值而扩张原数域。

一个实旋转矩阵可能没有实特征值，约旦块因而不能全部写在实数域内；有理标准形则仍可用实系数多项式 $t^2+1$ 描述其结构。

不变因子与循环块

对 $A\in F^{n\times n}$，存在唯一的一组非常数首一多项式 $$f_1\mid f_2\mid \cdots \mid f_r$$ 使 $A$ 相似于 $\mathrm{diag}(C(f_1),\dots ,C(f_r))$，其中 $C(f)$ 是 $f$ 的友矩阵，且 $\sum _j\mathrm{deg}{f}_j=n$。这些多项式称不变因子。其一般存在性与唯一性来自域上多项式环 $F[t]$ 的有限生成挠模结构定理：规定 $t\cdot v=Av$ 后，空间分解成 $F[t]/(f_j)$ 的直和。该结构定理在此引用，下面把各块与可计算矩阵联系起来。

在商模 $F[t]/(f)$ 中，用 $1,t,\dots ,t^{d-1}$ 作基。乘以 $t$ 把前面的基向量逐次后移；若 $f=t^d+c_{d-1}{t}^{d-1}+\cdots +c_0$，则 $t^d=-\sum _{j<d}{c}_j{t}^j$。这恰好给出友矩阵最后一列，证明抽象循环块就是熟悉的矩阵。

由分块行列式和归零多项式的最小公倍数，可读出 $$p_A=\prod _{j=1}^r{f}_j,m_A=f_r.$$ 整除链使最大的不变因子已经是所有块最小多项式的最小公倍数。

同一算子的两种表示

取 $A=\mathrm{diag}(1,2)$，选 $v=(1,1{)}^{𝖳}$。矩阵 $P=(v,Av)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$ 行列式为一，且 $A^{2}v=3Av-2v$。因此 $$P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cc}0& -2\\ 1& 3\end{array}\right)=C(t^2-3t+2).$$ 其有理标准形只有一个二阶块。若把两个一次多项式 $t-1,t-2$ 分列为块，它们彼此不整除，所以那虽是一个分块表示，却不是按整除链约定排列的有理标准形。

再取 $B=\mathrm{diag}(1,1,2)$。这次 $$p_B=(t-1{)}^2(t-2),m_B=(t-1)(t-2).$$ 不变因子为 $f_1=t-1,f_2=(t-1)(t-2)$，所以标准形为 $\mathrm{diag}(1,C(f_2))$。不能用一个三阶循环块代替，因为它的最小多项式次数会错误地升到三。

数域与信息保留

在 $F={𝔽}_2$ 上，多项式 $f=t^2+t+1$ 没有根，而友矩阵 $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$ 仍完全合法。直接在模二算术中相乘得 $C^2+C+I=0$。无须把根加入更大的域，便能研究重复作用。

变式比较 $A_1=I_2$ 与 $A_2=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$。它们特征多项式同为 $(t-1{)}^2$；前者不变因子为 $t-1,t-1$，后者仅为 $(t-1{)}^2$。不同的不变因子证明两者不相似，单凭特征值列表不足以区分。

有理标准形适合精确代数分类与多项式运算。和约旦形类似，它的精确块划分不宜直接用浮点近似等式判定；数值矩阵分析通常更倾向于使用舒尔分解等保正交结构的方法。

参考文献

Sheldon Axler，Linear Algebra Done Right，第四版，§5A—5B（循环关系与最小多项式）；Rezk循环模结构定理；本文例子与图解独立构造。