恒等定理（复分析）

恒等定理（identity theorem，复分析）说明，连通区域上的两个全纯函数，只要在一组具有内部聚点的位置取值相同，就在整个区域相同。这种唯一性远强于一般连续函数或实光滑函数：不需要知道一整块开区域的取值，一列合适的点也足够。

设 $\Omega \subset ℂ$ 为连通开集，$f,g$ 在其中全纯。若集合 $\{z:f(z)=g(z)\}$ 中存在一列彼此不同的点 $z_n\to a\in \Omega$，则 $f\equiv g$。聚点必须属于区域内部；无限多个点若只向边界或无穷远聚集，结论可能失败。

非恒零函数的零点局部孤立

令 $h=f-g$。它在每个内部点有收敛的泰勒展开。若 $h(a)=0$，且展开中存在非零系数，取最小非零次数 $m\ge 1$，就有 $$h(z)=(z-a{)}^{m}q(z),q(a)\ne 0.$$ 连续性保证 $q$ 在充分小圆盘不为零。因此这个圆盘中除了 $a$ 没有其他零点，$a$ 是孤立零点。

若 $a$ 是不同零点的聚点，这种孤立性不可能成立，所以其泰勒系数全部为零，函数在该点附近恒为零。余下需要把局部恒零传播到整个连通区域，不能直接略过这一步。

令 $S$ 为所有“有一个邻域使 $h$ 恒零”的点。刚才证明 $S$ 非空，它按定义是开集。若 $a$ 是 $S$ 在区域内部的极限点，则由连续性 $h(a)=0$；如果该点的展开有第一个非零系数，上一段给出的孤立零点邻域会与靠近它的 $S$ 点矛盾。因此该处所有系数也为零，$a\in S$，故 $S$ 在区域内相对闭。

连通空间中非空且同时开闭的子集只能是整个空间，于是 $S=\Omega$，证明完成。

一列采样能够决定整函数

假设整函数 $f$ 对每个正整数 $n$ 都满足 $$f(1/n)=e^{1/n}.$$ 这些点彼此不同并趋向内部点零。对 $f-e^z$ 使用定理，得到 $f(z)=e^z$ 对所有复数成立，即使题目没有直接给出 $f(0)$，连续性也已决定其值为一。

若改成只知道所有正整数上的值 $f(n)=e^n$，则不够。例如 $$F(z)=e^z+\sin (\pi z)$$ 是另一个整函数，在全部整数上与 $e^z$ 相同，却在 $z=1/2$ 多出一。这组整数没有有限平面内部的聚点。

变式。 若两个全纯函数在同一内部点的所有阶导数相等，则二者泰勒系数相同，在小圆盘相等，再由恒等定理得出整个连通区域相等。只相等到有限阶则不够：$e^z$ 和 $e^z+z^{m+1}$ 在零的零阶至 $m$ 阶导数相同，但并非同一函数。

连通性与边界聚集的限制

取两个互不相交的开圆盘组成开集。在第一个圆盘令 $f=0$，第二个令 $f=1$；另取 $g=0$。两函数都全纯，在第一个圆盘有大量相同值，第二个却不同。这说明连通性负责把局部信息传遍整个讨论区域。

对于只在去心圆盘定义的函数，零点若趋向被删除的中心，也不能自动套定理。例如 $\sin (1/z)$ 在去心平面全纯，零点 $1/(k\pi )$ 趋于零，但零不是其定义域的内部点，函数并不恒零。

唯一性不等于稳定恢复

定理假定取值精确相等。有限精度采样和有噪数据不能直接触发恒等结论，也不保证从数据恢复函数的过程稳定。对于近似数据，还要给函数族的先验约束与误差估计。

它也只保证解析延拓若在同一连通区域存在便唯一，不保证穿过任意边界的延拓一定存在。把存在性、唯一性和数值稳定性分开，才能正确使用这项强结论。

参考文献

Jiří Lebl，Guide to Cultivating Complex Analysis，1.9，2026-07-11，§2.4.4（恒等定理、孤立零点及开闭传播证明），§5.1（零点阶数）。