解析延拓

解析延拓（analytic continuation）把一个区域内已知的全纯函数，延伸为较大区域或沿某条路径定义的全纯函数，同时在重叠部分保持原来的值。它不是给实数表达式随意换一个“更大定义域”，也不表示原来的同一个级数会在新点继续收敛。

最简单的例子是几何级数 $\sum _{n\ge 0}{z}^n$。它在 $|z|<1$ 的和为 $1/(1-z)$。这个分式在 $ℂ\setminus \{1\}$ 全纯，因此提供更大的解析定义。在 $z=2$，分式值为负一，而原级数发散；延拓值并不是给发散的正项数列作普通求和。

重叠处的一致性

设 $f$ 在区域 $U$ 全纯。若 $F$ 在更大区域 $V\supset U$ 全纯，且限制到 $U$ 后等于 $f$，则称 $F$ 为一个解析延拓。在同一个连通的 $V$ 上，延拓若存在就唯一：两个候选在非空开集 $U$ 相同，由恒等定理（复分析）必在整个 $V$ 相同。

沿路径延拓则使用一串互相重叠的圆盘，在每个圆盘上给一个全纯函数，相邻函数在重叠处相同。圆盘交集连通，使恒等定理能够逐步传递一致性。对一条紧路径，只需有限多个适当圆盘；但换一条绕孔的路径，最终得到的函数元素可能不同。

给几何级数换一个展开中心

对主例，在任意 $a\ne 1$ 附近可写 $$\frac{1}{1-z}=\frac{1}{1-a}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{z-a}{1-a}\right)}^n.$$ 收敛条件是 $|z-a|<|1-a|$，即新圆盘不能碰到真正极点一。

例如先以 $a=-1/2$ 为中心，得到 $$\frac{1}{1-z}=\frac{2}{3}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{(\frac{2}{3}(z+1/2))}^n.$$ 其半径为 $3/2$，与原单位圆盘有开交集，而且能取到 $z=-1$。代入后的比值为负三分之一，求和为 $(2/3)/(1+1/3)=1/2$，与分式值一致。原来以零为中心的级数在负一并不收敛。

若希望到达二，可在避开一点的平面里选择绕行路径，再用沿途的圆盘逐步展开。不能让一个全纯圆盘跨过极点；选择路径避免极点是实质条件。

以负二分之一为新中心，半径扩大到1.5；两圆都被奇点1挡住。新中心使负1获得收敛展开，但没有消除真正极点。

对数绕原点一周的变化

从一点一附近的对数函数开始，取 $\log 1=0$。沿单位圆 $z(t)=e^{it}$、$0\le t\le 2\pi$ 逐段选择连续的辐角，延拓值为 $$L(t)=it.$$ 因为局部对数的导数为 $1/z$，沿路径求导得 $L^{\prime }(t)=z^{\prime }(t)/z(t)=i$，从初值积分正好得到此式。绕一周回到同一个平面点一，延拓值却变成 $2\pi i$。

这不与固定区域内的唯一性矛盾：去心平面上不存在把这些局部对数全部拼成的单值全纯函数。如果存在，其导数为 $1/z$，则沿单位圆的导数积分必须为零，而直接计算为 $2\pi i$。每次绕行的路径都明确时，沿该路径的延拓仍是唯一的。

变式。 对 $\sum _{n\ge 0}(-z{)}^n$，分式延拓是 $1/(1+z)$，真正极点移到负一。在 $z=2$，延拓值为 $1/3$；原级数同样发散。几何级数的延拓是单值分式，不会像对数那样因绕行产生不同分支。

存在性需要另行证明

恒等定理只保证已经存在的延拓不能在同一连通区域任意选择，并不保证每个局部全纯函数都能穿过每个边界点。极点、本性奇点，乃至整条边界形成的自然边界，都可能阻止延拓。研究问题时应分别写明原函数元素、允许路径和目标区域，不能仅凭解析表达式外观宣称可全局延伸。

参考文献

Jiří Lebl，Guide to Cultivating Complex Analysis，1.9，2026-07-11，§10.2.1（沿路径的圆盘链及唯一性），§4.1（对数分支）。