折棍过程

折棍过程（stick-breaking process）是一类逐次分配概率质量的构造。先把总长度设为一，每次从剩余长度中折下一定比例；折下的是本次权重，未折完的是之后所有权重的总质量。它能构造可数个非负且总和为一的随机权重，常用于贝叶斯非参数模型。

比例与权重的区别

给定 $V_k\in [0,1]$，定义 $${\pi }_1=V_1,{\pi }_k=V_k\prod _{j<k}(1-V_j),R_K=\prod _{j=1}^K(1-V_j).$$ $V_k$ 是占“当前剩余部分”的比例，${\pi }_k$ 是占原始总长度的比例。取教学数值 $V_1=1/2,V_2=1/2,V_3=1/4$，则 $${\pi }_1=1/2,{\pi }_2=1/4,{\pi }_3=1/16,R_3=3/16.$$ 第二次折下一半，不等于再次分走原始长度的一半。

三条横带始终以原始总长度为基准。每一步只切割尚未分配的部分，已有权重保持不变。

对任意 $K$，有 $\sum _{k=1}^K{\pi }_k=1-R_K$。证明用递推：$R_{k-1}-R_k=R_{k-1}{V}_k={\pi }_k$，从一加到 $K$ 后中间余量抵消。于是所有权重非负，部分和不超过一；是否最终等于一，还需要证明余量趋零。

贝塔比例与总质量证明

在常见的 GEM 构造中，取 $\alpha >0$，令 $V_k$ 独立同分布于 $\mathrm{Beta}(1,\alpha )$。贝塔均值给出 $𝔼[1-V_k]=\alpha /(\alpha +1)$。利用独立性， $$𝔼[R_K]={\left(\frac{\alpha }{\alpha +1}\right)}^K.$$ 又 $R_K$ 单调下降且非负，所以极限 $R_{\mathrm{\infty }}$ 存在。对任意 $\epsilon >0$，马尔可夫不等式给出 $$Pr(R_{\mathrm{\infty }}>\epsilon )\le Pr(R_K>\epsilon )\le \frac{𝔼[R_K]}{\epsilon }⟶0.$$ 故 $R_{\mathrm{\infty }}=0$ 几乎处处，即 $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\pi }_k=1$ 几乎必然。这个论证补上了“不断折下去就会分完”这句直觉中缺失的条件。

若再独立抽取位置 ${\theta }_k\sim H$，则 $G=\sum _{k\ge 1}{\pi }_k{\delta }_{{\theta }_k}$ 是随机概率测度；Sethuraman 的表示定理说明它具有狄利克雷过程分布 $DP(\alpha ,H)$。权重总和的证明并不等于整个表示定理的证明，后者还需核对每个有限划分的狄利克雷分布。

期望权重与有限截断

同样由独立性， $$𝔼[{\pi }_k]=\frac{1}{\alpha +1}{\left(\frac{\alpha }{\alpha +1}\right)}^{k-1}.$$ 期望权重递减，不代表每次抽到的权重都递减。比如 $V_1=1/10,V_2=9/10$ 时，${\pi }_1=0.1,{\pi }_2=0.81$；折棍次序不是从大到小排序。

在 $\alpha =2$ 时，若希望被忽略的余量期望小于百分之一，要取 $(2/3{)}^K<0.01$。$K=11$ 时约 $0.01156$，$K=12$ 时约 $0.00771$，所以最小整数为十二。

这里控制的是平均遗漏质量。单次构造的实际余量仍是随机数，应另外检查或给出概率界。

变式。 若要用同样方法保证 $Pr(R_K>0.1)\le 0.05$，足够条件是 $(2/3{)}^K\le 0.005$，最小满足的整数为十四。这是马尔可夫不等式给出的充分条件，不声称十四是实际尾概率所需的最小截断。

有限计算中可保留余量作为单独一类，或将余量并到最后一项；直接删除会使总质量小于一，重新归一化又会改变每项原有权重。三种处理方式对应不同近似，应写清约定。