报童模型

报童模型（newsvendor model）是先决定一次订货量、再面对随机需求的单周期库存模型。订少了损失未满足需求的贡献，订多了产生剩余成本；最优数量通常由需求分布的某个分位数决定，而不是直接取平均需求。

设一个教学商品单价十二元，采购成本每件六元，期末未售出可回收每件二元。需求 $D$ 只可能为一、二、四件，概率分别为 $1 / 4, 1 / 2, 1 / 4$ 。本篇先用这个有限例子计算，再说明一般的分位数规则。所有数字都是为讲解构造的模型输入。

决策时点、成本与目标

设需求 $D \geq 0$ ，且 $𝔼 D < \infty$ 。订货量 $q \geq 0$ 在观察需求之前确定。售完后的剩余量为 $(q - D)^{+}$ ，缺货量为 $(D - q)^{+}$ ，其中 $x^{+} = max (x, 0)$ 。给定单位过量成本 $c_{o} > 0$ 、单位不足成本 $c_{u} > 0$ ，目标是 $min_{q \geq 0} C (q), C (q) = c_{o} 𝔼 (q - D)^{+} + c_{u} 𝔼 (D - q)^{+} .$ 需求有限期望保证固定有限 $q$ 下的这些期望有限。成本与需求分布为输入， $q$ 是决策；不能在每个需求已经知道后分别选择一次订量，再把它称作同一个事前决策。^[1]

若销售单价为 $p$ 、采购成本为 $c$ 、残值为 $v$ ，并满足 $p > c > v \geq 0$ ，则没有另加缺货罚款时 $c_{u} = p - c, c_{o} = c - v .$ 这可以从利润核对。对一次需求 $d$ ，利润为 $π (q, d) = p min (q, d) + v (q - d)^{+} - c q = (p - c) d - c_{o} (q - d)^{+} - c_{u} (d - q)^{+} .$ 需求项 $(p - c) d$ 与决策无关，所以最大化期望利润等价于最小化 $C (q)$ 。缺货成本取损失的毛利，不能在已经扣过采购费用后再次把全部售价作为额外损失重复计算。

分位数规则的推导

先允许 $q$ 连续。每个实现成本 $c_{o} (q - d)^{+} + c_{u} (d - q)^{+}$ 是分段线性的凸函数，正权重求平均后 $C$ 仍凸。若分布函数 $F (q) = Pr (D \leq q)$ 在 $q$ 处连续，则边际成本为 $C^{'} (q) = c_{o} F (q) - c_{u} [1 - F (q)] = (c_{o} + c_{u}) F (q) - c_{u} .$ 原因是需求低于订量时多订一小单位增加过量成本，需求高于订量时减少不足成本。每个实现的斜率被 $max (c_{o}, c_{u})$ 控制，因此可以对期望取这一边际极限。

定义临界比率 $α = \frac{c_{u}}{c_{u} + c_{o}} \in (0, 1) .$ 在连续且严格递增的分布区域，最优点由 $F (q^{*}) = α$ 确定。一般含原子的分布则应使用左右斜率： $C'_{-} (q) = (c_{o} + c_{u}) F (q^{-}) - c_{u}, C'_{+} (q) = (c_{o} + c_{u}) F (q) - c_{u} .$ 凸函数在此最小，当且仅当左斜率不大于零、右斜率不小于零，即 $F (q^{-}) \leq α \leq F (q) .$ 若分布在一段区间内没有需求质量，且该段的 $F$ 恰等于 $α$ ，整段都可能最优；只报出一个分位点不等于证明解唯一。

需求一二四的阶梯分布与临界比率六除以十相交于二的跳跃处 — 本例 α=0.6，F(2⁻)=0.25、F(2)=0.75，临界比率落在跳跃之间，因此订量二最优。实心与空心点区分阶梯端点。

若需求和订量都取非负整数，也可完全不用微分。比较订 $q + 1$ 与订 $q$ ：当 $D \leq q$ 时增加 $c_{o}$ ，当 $D \geq q + 1$ 时减少 $c_{u}$ ，故 $C (q + 1) - C (q) = (c_{o} + c_{u}) F (q) - c_{u} .$ 随着 $q$ 增大，该差分不减；从负变为非负时达到最小。最小的整数最优订量因此是最小满足 $F (q) \geq α$ 的非负整数。

三种需求下逐项复算

开头价格给出 $c_{u} = 6, c_{o} = 4$ ，所以 $α = 3 / 5$ 。期望需求为 $9 / 4 = 2.25$ ，但临界分位数为二。

对 $q = 2$ ，需求为一时剩一件，成本四；需求为二时无偏差；需求为四时缺两件，成本十二。按概率加权， $C (2) = \frac{1}{4} \cdot 4 + \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{4} \cdot 12 = 4.$ 其他相邻选择分别为 $C (1) = \frac{1}{2} \cdot 6 + \frac{1}{4} \cdot 18 = 7.5,$ $C (3) = \frac{1}{4} \cdot 8 + \frac{1}{2} \cdot 4 + \frac{1}{4} \cdot 6 = 5.5, C (4) = 7.$ 由差分式， $C (2) - C (1) = 10 F (1) - 6 = - 3.5$ ， $C (3) - C (2) = 10 F (2) - 6 = 1.5$ ，两者与直接求和一致。

订量从零到五时的期望偏差成本为分段线性凸曲线，二处最低四 — 红色与金色分别为期望不足和过量成本，实线为两者之和。整数二最优，连续订量二也最优。

此时预计售出 $𝔼 min (D, 2) = 7 / 4$ 件，预计剩余 $1 / 4$ 件，期望利润为 $12 \cdot \frac{7}{4} + 2 \cdot \frac{1}{4} - 6 \cdot 2 = 9.5.$ 也可按“完全知道需求时的利润减去偏差成本”核对： $6 𝔼 D - C (2) = 13.5 - 4 = 9.5$ 。两种计算不重复扣成本。

变式。 只把售价提高到二十二，保持采购、残值与需求分布不变。现在 $c_{u} = 16, c_{o} = 4$ 、 $α = 0.8$ ； $F (2) = 0.75$ 尚未达到阈值，最小最优订量变为四。此时 $C (2) = 9$ 、 $C (4) = 7$ ，期望利润分别为 $36 - 9 = 27$ 、 $36 - 7 = 29$ 。最优订量的改变来自不足成本变化，不是需求均值改变。

精确离散分布实现

以下实现接受有限的 (需求整数, 概率) 表，概率与成本使用整数或 Fraction。同一需求的重复记录会合并；概率必须非负且总和恰为一，两个单位成本必须为正。函数不改写输入，返回最小最优整数订量、期望偏差成本与临界比率。

Python 3

from fractions import Fraction


def discrete_newsvendor(distribution, underage, overage):
    def exact(value):
        if isinstance(value, bool) or not isinstance(value, (int, Fraction)):
            raise TypeError("Use integers or Fraction")
        return Fraction(value)

    cu, co = exact(underage), exact(overage)
    if cu <= 0 or co <= 0:
        raise ValueError("Both costs must be positive")
    mass = {}
    for demand, probability in distribution:
        if type(demand) is not int or demand < 0:
            raise ValueError("Demand must be a nonnegative integer")
        probability = exact(probability)
        if probability < 0:
            raise ValueError("Negative probability")
        mass[demand] = mass.get(demand, Fraction(0)) + probability
    if sum(mass.values(), Fraction(0)) != 1:
        raise ValueError("Probabilities must sum exactly to one")
    alpha, cumulative = cu / (cu + co), Fraction(0)
    for quantity in sorted(mass):
        cumulative += mass[quantity]
        if cumulative >= alpha:
            cost = sum((p * (co * max(quantity - d, 0)
                             + cu * max(d - quantity, 0))
                        for d, p in mass.items()), Fraction(0))
            return quantity, cost, alpha


probabilities = [(1, Fraction(1, 4)), (2, Fraction(1, 2)),
                 (4, Fraction(1, 4))]
print(discrete_newsvendor(probabilities, 6, 4))
print(discrete_newsvendor(probabilities, 16, 4))
# (2, Fraction(4, 1), Fraction(3, 5))
# (4, Fraction(7, 1), Fraction(4, 5))

扫描中累计概率始终等于当前需求值处的分布函数；首次达到临界比率就是上面差分证明给出的最小最优点。因为全部概率最终加到一、 $α < 1$ ，合法输入一定返回。若有 $m$ 条记录，合并、求和成本为线性，排序为 $O (m \log m)$ ，存储为 $O (m)$ ，有理数位长另计。

模型边界与扩展

模型假设单次事前决策、一个周期、单位成本固定，且需求分布在决定订量时已知或已估计。多周期补货、交货延迟、积压订单、库存容量、售价影响需求以及多商品共享预算，都增加了新的状态或约束，不能只替换一个分位数就认为问题相同。

期望成本最小也不等于每次需求实现时成本都小。本例订二遇到需求四仍会缺两件；若目标变为控制缺货概率或尾部损失，应另写服务约束或条件风险价值等风险目标。输入概率估计不准时，公式代入正确也不保证现实预测可靠；模型的数学最优性与需求资料的准确性应分别检查。

参考资料

↑ Fabio Furini：The Newsvendor and its variants，Operations Research Lab，“Basic model and the quantile rule”，过量/不足成本、期望目标及临界分位数。本文使用不同的离散需求和完整边际推导。访问日期：2026年10月25日。

[furini-1] Fabio Furini：The Newsvendor and its variants，Operations Research Lab，“Basic model and the quantile rule”，过量/不足成本、期望目标及临界分位数。本文使用不同的离散需求和完整边际推导。访问日期：2026年10月25日。

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