拉普拉斯分布

拉普拉斯分布（Laplace distribution），也称双指数分布，是在某个中心两侧按距离指数衰减的连续分布。位置参数 $\mu \in ℝ$ 决定中心，尺度 $b>0$ 决定展开程度。它与绝对偏差损失相联系，正如正态误差与平方偏差损失相联系。

设一个合成测量误差模型以二为中心，左右两侧同样可能偏离，每离开中心二个单位，密度就缩小到原来的 $e^{-1}$。这对应 $\mathrm{Laplace}(2,2)$，并不表示误差只能向一个方向发生。

两侧指数密度

定义 $$f(x)=\frac{1}{2b}{e}^{-|x-\mu |/b},x\in ℝ.$$ 左、右半轴分别积分：令 $t=|x-\mu |$，每半侧的积分均为 $(2b{)}^{-1}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-t/b}\mathrm{d}t=1/2$，因此总概率为一。闭支撑为整条实轴，中心没有点概率质量；密度连续但在中心有尖角。

逐段积分得到 $$F(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2}{e}^{(x-\mu )/b},& x\le \mu ,\\ 1-\frac{1}{2}{e}^{-(x-\mu )/b},& x\ge \mu .\end{array}$$ 两式在中心都给出二分之一，因此均值、中位数和众数都在 $\mu$。均值存在性还需检查尾积分，不能只由对称性断言。

位置固定在二，尺度增大使中心更低、两侧展开。

令 $Y=X-\mu$。对任意非负整数 $r$， $$𝔼|Y{|}^r=\frac{1}{b}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^r{e}^{-t/b}\mathrm{d}t=b^r\Gamma (r+1)=b^{r}r!.$$ 所以一阶绝对矩有限，对称性才保证 $𝔼Y=0$；二阶矩给出 $\mathrm{Var}(X)=2b^2$。所有非负整数阶矩都存在，尺度 $b$ 等于平均绝对中心偏差，而非标准差。

两个等待时间的差

若 $A,B$ 独立且均服从率 $1/b$ 的指数分布，令 $D=A-B$。当 $d\ge 0$，差的密度为 $$f_D(d)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{b}{e}^{-(d+y)/b}\frac{1}{b}{e}^{-y/b}\mathrm{d}y=\frac{1}{2b}{e}^{-d/b}.$$ 当 $d<0$，交换 $A,B$ 得到对称的另一半。所以 $\mu +A-B$ 服从上述拉普拉斯分布。独立且同率这两个条件都参与计算；不同率会形成不对称的两侧衰减。

在开头模型中，中心两侧各二单位以内的概率为 $$Pr(0\le X\le 4)=1-Pr(|X-2|>2)=1-e^{-1}\approx \mathrm{0.632121.}$$ 若区间半宽改成四，变式答案为 $1-e^{-2}\approx 0.864665$；概率并不随半宽线性加倍。

中位数与绝对偏差

设 $X_1,\dots ,X_n$ 独立同分布于该族，位置、尺度均未知。对观测 $x_i$，负对数似然是 $$n\log (2b)+\frac{1}{b}\sum _{i=1}^n|x_i-\mu |.$$ 固定 $b$ 时，估计位置等于最小化绝对偏差和。把观测从小到大排列；在没有观测点的区间内，函数的斜率等于左侧观测数减右侧观测数。因此斜率在中位数之前非正、之后非负，所有样本中位数均使其最小。偶数样本时，两中间次序统计量之间整段都可最优。

取合成数据 $1,2,2,4,11$。中位数二处偏差和为 $1+0+0+2+9=12$，样本均值四处为 $3+2+2+0+7=14$，故位置最大似然估计为二。再对 $b$ 求导，$n/b-12/b^2=0$，得到 $\hat{b}=12/5=2.4$。

曲线由原始五个数直接计算，每过一个观测值斜率就改变。

图中在二处形成最低点，最小值十二。作为估计问题的变式，把十一换成一百一十一，中位数仍为二，但绝对偏差和增为一百一十二、尺度估计为 $112/5$。位置中位数对这一极端观测不变，并不表示尺度估计也不受影响。若全部观测相同，偏差和为零，似然随 $b\downarrow 0$ 无界；在要求 $b>0$ 的普通连续模型中没有内部尺度最大值。