换位子群

换位子群衡量一个群偏离交换群的程度。它由所有形如 $gh{g}^{-1}{h}^{-1}$ 的元素生成；把它压成单位元后，所得商群必定交换。

定义与正规性

给定群 $G$，取约定 $$[g,h]=gh{g}^{-1}{h}^{-1},$$ $$[G,G]=⟨[g,h]:g,h\in G⟩.$$ 角括号表示由所有换位子生成的子群，包含它们及其逆元的有限乘积；不能预先假设每个这样的乘积都能写成单个换位子。另一常见约定把换位子写为 $g^{-1}{h}^{-1}gh$；遍历所有 $g,h$ 时两种约定生成同一个子群。

对任意 $x\in G$，直接展开得 $$x[g,h]x^{-1}=[xg{x}^{-1},xh{x}^{-1}].$$ 因此任意生成元的共轭仍是换位子；由共轭保持乘法及逆元，整个 $[G,G]$ 在共轭下不变，是正规子群。

最大交换商

令 $\pi :G\to G/[G,G]$ 为商映射。因为任意 $[g,h]$ 都在核中，$\pi (g)\pi (h)=\pi (h)\pi (g)$，所以商群是交换群。反过来，若正规子群 $N$ 使 $G/N$ 交换，则每个 $[g,h]$ 的像为单位元，即 $[g,h]\in N$；因此 $[G,G]\subseteq N$。

这个结论说明 $[G,G]$ 是使商群交换的最小正规子群。更具体地，任意到交换群的同态 $f:G\to A$ 都满足 $f([g,h])=e_A$，所以 $[G,G]\subseteq \ker f$，并唯一地通过 $G/[G,G]$ 分解。该商称为群的阿贝尔化，是商群的一个重要例子。

三元对称群的例子

取 $G=S_3$。符号同态 $\mathrm{sgn}:S_3\to \{1,-1\}$ 的目标是交换群，其核是 $A_3=\{e,(123),(132)\}$，因此 $[S_3,S_3]\subseteq A_3$。另一方面，取 $g=(12)$、$h=(23)$，按从右向左复合的约定，直接计算得 $$[g,h]=(12)(23)(12)(23)=(132).$$ 三循环 $(132)$ 生成整个 $A_3$，所以反向包含也成立，最终 $[S_3,S_3]=A_3$，而 $S_3/[S_3,S_3]\cong C_2$。

符号映射把 S₃ 送到二元交换群，其核恰为 S₃ 的换位子群 A₃。

若 $G$ 本身交换，所有换位子都是单位元，故换位子群平凡；反过来若换位子群平凡，则每对元素都交换。群的迭代换位子群还可构成导出列，用于研究可解群。