排队论与利特尔定律

排队论研究随机到达的任务在有限服务能力下如何等待。例如医院检查窗口平均每小时来四人、每小时能完成六人，并不表示每个来访者都立刻获得服务；有人集中到达，就会出现队列。需要分别问三个量：系统里平均有多少人、每人平均待多久、等待的尾部风险有多大。本篇先建立与分布假设无关的利特尔定律，再求一个可手算的单服务台模型。

先分清队列与系统

把检查窗口前尚未接受服务的人称为队列；把正在接受服务的人也算进去，称为系统。记长期平均到达并最终离开的速率为 $\lambda$（人／小时），系统内平均人数为 $L$，每位来访者从到达到离开的平均时间为 $W$（小时）。队列中相应的量记为 $L_q,W_q$。

单位已经提示一个关系：每小时进入 $\lambda$ 人，每人平均停留 $W$ 小时，系统内平均人数应是两者乘积。利特尔定律精确表达为 $$L=\lambda W,L_q=\lambda W_q.$$ 这里的平均必须对应同一套稳定运行的系统、同一批次的进入与离开口径。它不要求到达一定服从泊松分布，也不要求服务时间一定服从指数分布；若人不断积压、观察窗只有开业最初几分钟或中途有大量失访，不能只把三个样本均值相乘就声称得到稳态关系。

利特尔定律从时间面积得到

令 $N(t)$ 为时刻 $t$ 在系统里的人数。在一段长度为 $T$ 的观察时间内，图像 $N(t)$ 下的面积 $${\int }_0^{T}N(t)dt$$ 以“人·小时”为单位。换一个方向累计：每个人在区间内占据系统的时间长度加起来，也恰是同一块面积，因为他在场的每一小段时间都为 $N(t)$ 贡献一人。

若期间完成的服务人数为 $D(T)$，完成者的平均停留时间为 ${\bar{W}}_T$，两种面积的差只来自观察窗起点已经在场、或终点尚未离开的人的截断部分。在系统稳定、这些边界贡献相对 $T$ 可忽略时，除以 $T$ 并令 $T$ 增大，有 $$\underset{⟶L}{\underbrace{\frac{1}{T}{\int }_0^{T}N(t)dt}}\approx \underset{⟶\lambda }{\underbrace{\frac{D(T)}{T}}}\underset{⟶W}{\underbrace{{\bar{W}}_T}}.$$ 这就给出 $L=\lambda W$。只累计进入服务前的等待面积，同样得到 $L_q=\lambda W_q$。这个推导说明它是人数与停留时间的守恒账，并没有推断等待时间的具体分布。

一个可以逐人核对的服务台

用教学数据演示排队的时序。四位来访者的到达时刻分别为 $0,0.1,0.4,1.0$ 小时，服务各需 $0.2,0.3,0.1,0.25$ 小时；先到先服务且不插队。令第 $i$ 人到达时刻为 $A_i$、服务时长为 $B_i$、开始服务时刻为 $S_i$、完成时刻为 $C_i$。上一位尚未完成时不能开始，故 $$S_i=max(A_i,C_{i-1}),C_i=S_i+B_i,W_{q,i}=S_i-A_i.$$ 第一位到达即开始，在 $0.2$ 完成；第二位 $0.1$ 到达却到 $0.2$ 才开始，完成于 $0.5$；第三位在 $0.5$ 开始，完成于 $0.6$；第四位到达时窗口已空闲。核算如下：

人员	到达 $A_i$	服务时长 $B_i$	开始 $S_i$	完成 $C_i$	排队 $W_{q,i}$
1	0	0.2	0	0.2	0
2	0.1	0.3	0.2	0.5	0.1
3	0.4	0.1	0.5	0.6	0.1
4	1.0	0.25	1.0	1.25	0

第二人的总停留时间是 $0.5-0.1=0.4$ 小时，其中等待 $0.1$、服务 $0.3$。这个有限的非随机例子只说明怎样算时序，不足以把这四个人的平均数当作长期稳态预测。

单服务台的 M/M/1 模型

若来访者独立地按恒定速率 $\lambda$ 到达，单位时间的到达人数服从泊松分布；服务时间独立、服从均值为 $1/\mu$ 的指数分布，且只有一位服务者，称为 M/M/1 模型。$\mu$ 的单位也是人／小时。服务者忙碌比例记为 $\rho =\lambda /\mu$。只有 $\rho <1$ 时，等待人数才有正常化的稳态分布。

令 $p_n$ 为稳态时系统有 $n$ 人的概率。从状态 $n$ 向上跳的速率为 $\lambda$；从状态 $n+1$ 向下跳的速率为 $\mu$。相邻状态流量平衡给出 $p_n\lambda =p_{n+1}\mu$，所以 $p_{n+1}=\rho p_n$。用全部概率之和为一，且 $\rho <1$，得到几何级数 $$p_n=(1-\rho ){\rho }^n,n=0,1,2,\dots .$$ 系统人数的期望为 $$L=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}n(1-\rho ){\rho }^n=\frac{\rho }{1-\rho }.$$ 其中利用 $\sum _{n\ge 0}{\rho }^n=(1-\rho {)}^{-1}$ 两边求导后乘以 $\rho$。稳态完成率等于到达率 $\lambda$，利特尔定律于是给出 $$W=\frac{L}{\lambda }=\frac{1}{\mu -\lambda },W_q=W-\frac{1}{\mu }=\frac{\lambda }{\mu (\mu -\lambda )}.$$ 系统总停留时间等于等待加自己的服务时间，最后一步扣去平均服务时间 $1/\mu$。再乘 $\lambda$，得 $L_q={\rho }^2/(1-\rho )$。

回到每小时平均来四人、每小时平均服务六人的窗口：$\rho =4/6=2/3$，$L=2$ 人，$W=1/(6-4)=1/2$ 小时，$W_q=1/2-1/6=1/3$ 小时，即平均排队二十分钟。模型下服务者空闲概率是 $p_0=1/3$；这不表示每三位来访者一定有一位完全不用等。由于泊松到达看到的状态分布与时间平均一致，来访者抵达时遇到忙碌窗口的概率为 $\rho =2/3$。

保持服务速率不变时，需求接近能力上限，平均停留时间并非线性增长。标出的点对应每小时来四人、服务六人的例子。

图上曲线来自 $W=1/[\mu (1-\rho )]$，其中 $\mu =6$。当 $\lambda$ 从四增到五人／小时，利用率从 $2/3$ 增到 $5/6$，平均总停留时间却从半小时变为一小时。需求只增四分之一，时间翻倍。只用“服务能力大于平均到达率”说明窗口足够，容易漏掉这种高负荷下的等待成本。

在建模题中使用与检验

医院、安检和出租车站首先要画出任务流向、识别并行窗口数量、优先级和有限等待空间。只知“每天 480 人、八小时营业”只能给出日均 $60$ 人／小时；若人群集中在早晨，必须估计分时段到达率，不能直接套用恒定 $\lambda$ 的稳态公式。服务时间若受到病例复杂度、设备故障或班次切换影响，也不满足独立同分布的指数假设。

实际检查至少包括：以分时段原始数据估计到达率和服务时长分布；画出队长与等待时间的经验分位数；检查系统是否持续积压；在不同日子验证预测的平均值和尾部。若多个窗口、预约、插队、故障或时间变化明显，可保留利特尔定律作账目核对，用离散事件仿真按实际规则计算，而不是把 M/M/1 的 $1/(\mu -\lambda )$ 公式硬套给所有系统。

参考资料与相关词条

• MIT 1.203《Queueing Systems》，Little 定律、出生死亡过程与 M/M/1。
• MIT 1.225《Queues》，累计人数面积与平均停留时间。
• 先修：期望、泊松分布、指数分布；相关：交通流模型、随机模拟。