接近中心性

接近中心性（closeness centrality）根据一个顶点到其他顶点的最短路径距离评价其可达位置。距离总和越小，标准接近中心性越大。不连通图和有向图存在多种约定，必须同时说明哪些点纳入分母、不可达点怎样处理，以及使用向内还是向外距离。

在四点路径 $1-2-3-4$ 中，从一出发到其余点的距离为 $1,2,3$，总和六；从二出发为 $1,1,2$，总和四。因此中间位置具有更高的接近中心性，虽然它并没有到每个点都距离一。

比较的是最短距离总和；归一化分子同为三，因此中间两点得分较高。

连通图的定义和范围

设有限无向简单图连通，$n\ge 2$，每条边距离为一。定义 $$C(v)=\frac{n-1}{\sum _{u\ne v}d(v,u)}.$$ 它是平均最短距离的倒数。另有不带 $n-1$ 的倒数距离和约定，跨网络比较时不能把两者混为同一数值。

由于其他每个顶点的距离至少一，分母至少 $n-1$，故 $0<C(v)\le 1$。等号当且仅当 $v$ 与所有其他顶点直接相邻。这给出数值范围和等号条件的完整证明。在同一顶点集上加边不会增加任意最短距离，因为旧路径仍可使用，因此固定连通图上的 $C(v)$ 不会因加边而下降。

四点路径的值依次为 $1/2,3/4,3/4,1/2$。变式： 给它增加边 $14$ 成为四边形，每点到其他点的距离为 $1,1,2$，所以得分全为 $3/4$。原中间点没有严格增加，说明加边只保证“不下降”。

不可达点改变了分母的含义

在不连通图中，直接令不可达距离为无穷会使全体倒数距离和为零，难以比较不同分量内部位置。若只对可达点计算，则小分量可能得到过高分数。例如一条孤立的二点边，其端点在本分量内得分一，却无法到达网络其他顶点。

设全图有 $N\ge 2$ 个顶点，从 $v$ 可达的其他顶点有 $r_v$ 个，有限距离和为 $S_v$。一种常用修正为 $$C_{\mathrm{W}\mathrm{F}}(v)=\frac{r_v}{N-1}\frac{r_v}{S_v}.$$ 第一个因子惩罚只覆盖小部分网络的位置，第二个因子是可达部分的平均距离倒数。$r_v=0$ 时约定为零，避免 $0/0$；全图单顶点时也通常记零。连通时 $r_v=N-1$，恢复原式。

在四点路径旁再加孤立顶点五，中间点二仍有 $r_2=3,S_2=4$，所以修正值为 $(3/4)(3/4)=9/16$；若只报告本分量值，仍是 $3/4$。路径端点的修正值为 $(3/4)(3/6)=3/8$，孤立点为零。加入不相连的顶点并未改变局部路径，却改变了“在全网络中可达多少”的比例。

另一种不同指标是调和中心性 $H(v)=\sum _{u\ne v}1/d(v,u)$，约定 $1/\mathrm{\infty }=0$，也可再除以 $N-1$。它是距离倒数之和，不是距离和的倒数。上述点二的归一化调和值为 $(1+1+1/2)/4=5/8$，与 $9/16$ 不同；二者不可在同一报告里无说明地替换。

方向、单位和解释

有向图中 $d(u,v)$ 与 $d(v,u)$ 可能不同。网络 $a\to b\to c$ 中，$c$ 能被另外两点到达，却不能向外到达任何点；向内与向外接近性因此描述相反角色。应先确定信息进入还是扩散出去，再统一选择距离方向。

加权距离还带有单位。若全部距离乘以常数 $a>0$，接近性除以 $a$，所以在任意实权距离上不再具有一的通用上界。把联系强度直接作为距离也会颠倒含义：强联系数值大不一定表示路更长，转换规则须由模型说明。与介数中心性不同，一个点可以距离大家都近，却不充当其他点最短路的中转；两种指标并不互相替代。