支撑超平面

支撑超平面（supporting hyperplane）是与集合接触、并使整个集合位于其某一侧闭半空间内的超平面。对 $C\subseteq {ℝ}^n$，若 $a\ne 0$、存在 $x_0\in C$，且 $$a^{𝖳}x\le a^{𝖳}{x}_0\text{对所有 }x\in C,$$ 则 $H=\{x:a^{𝖳}x=a^{𝖳}{x}_0\}$ 是 $C$ 在 $x_0$ 的支撑超平面。二维中它是支撑直线。接触条件 $x_0\in C$ 与法向量非零都属于定义。

在三角形 $C=\mathrm{conv}\{(0,0),(4,0),(0,3)\}$ 上，所有点都满足 $3x+4y\le 12$，并在从 $(4,0)$ 到 $(0,3)$ 的整条边上取等号。因此 $3x+4y=12$ 是支撑直线，法向量为 $(3,4)$。接触点可以不唯一，支撑线也不必只在一个点“相切”。

一个线性函数在整条边上同时达到最大值，形成一组接触点。

线性最优化与接触集合

对固定方向 $a$ 最大化 $a^{𝖳}x$。若最大值有限且由 $x_0\in C$ 达到，等值超平面便是支撑超平面。反过来，支撑条件直接说明 $x_0$ 为该线性问题的最优解。这连接了几何接触和最优性证书。

主例方向 $a=(3,4)$ 在两个顶点取值十二，原点取零，任一凸组合的值是三个值的同权重组合，故不会超过十二。要达到十二，原点的权重必须为零，因此最优解恰为对边线段。变式方向改为 $(1,0)$，三个顶点取值零、四、零，唯一最优点为 $(4,0)$，支撑线为 $x=4$。同一集合的接触集合随方向变化。

闭凸集边界上的存在性证明

定理　非空闭凸集 $C\subseteq {ℝ}^n$ 的每个边界点 $x_0$ 都有支撑超平面。

因为 $x_0$ 是边界点，可以选取 $z_k\notin C$ 使 $z_k\to x_0$。闭性保证 $x_0\in C$，并保证每个 $z_k$ 在 $C$ 中有最近点 $p_k$：可将距离最小化限制在闭有界球内，再用紧性。

最近点满足 $(z_k-p_k{)}^{𝖳}(x-p_k)\le 0$ 对所有 $x\in C$。这是比较 $p_k$ 与线段点 $p_k+t(x-p_k)$ 的距离、展开平方并令 $t\downarrow 0$ 得到的。令单位法向量 $a_k=(z_k-p_k)/\Vert z_k-p_k\Vert$。又有 $$\Vert p_k-x_0\Vert \le \Vert p_k-z_k\Vert +\Vert z_k-x_0\Vert \le 2\Vert z_k-x_0\Vert \to 0,$$ 第二个不等式利用 $x_0\in C$ 是最近点竞争者。

单位球面紧，故可取子列使 $a_k\to a$，且 $\Vert a\Vert =1$。固定任意 $x\in C$，对 $a_k^{𝖳}(x-p_k)\le 0$ 取极限，得到 $a^{𝖳}(x-x_0)\le 0$。同一子列的法向量与点均已收敛，所以这一推理适用于每个固定的 $x$；于是对全部 $x\in C$ 成立。非零 $a$ 与接触点 $x_0$ 给出了所需超平面。

定义中的边界与失败情形

对有非空内部的凸集，内部点不能有支撑超平面。若 $x_0$ 是内部点，取足够小的 $\epsilon >0$，点 $x_0+\epsilon a$ 仍在集合中，却使 $a^{𝖳}x>a^{𝖳}{x}_0$，违反支撑条件。若集合本身在较低维仿射空间中，环境空间的边界包含整个集合；此时包含集合的超平面也可作为支撑超平面，需与相对边界的说法区别。

闭性在上面的定理中保证接触点属于集合。开单位圆盘的边界点不在集合内，直线 $x=1$ 虽限制全部点在一侧，却不与开圆盘相交，按本文定义不是它的支撑直线。上确界存在不等于最大值达到，详见支撑函数。

非凸集合也可能有支撑线，但不能保证每个边界点都有。例如集合 $\{(-1,0),(0,0),(1,0),(0,-1),(0,1)\}$ 的中心也是其拓扑边界点；对任何非零法向量，总有一个轴端点使内积为正，另一个为负，所以不存在穿过中心而把全部点放在同侧的直线。这个有限反例指出凸性在普遍存在结论中的作用。