支撑函数

支撑函数（support function）记录集合在每个线性方向上的最大投影值。对非空集合 $C\subseteq {ℝ}^n$，定义 $$h_C(a)=\underset{x\in C}{sup}{a}^{𝖳}x,a\in {ℝ}^n.$$ 若该方向无上界，函数值为 $+\mathrm{\infty }$；上确界有限也未必由集合中的点达到。方向 $a$ 是输入，集合内点的内积上界是输出。只在 $\Vert a\Vert =1$ 时，它才直接表示相应有向法线坐标的长度尺度。

取矩形 $C=[0,2]\times [-1,1]$。对方向 $a=(a_1,a_2)$，两个坐标可以独立选择，故 $$h_C(a)=2max(a_1,0)+|a_2|.$$ 第一项来自在区间 $[0,2]$ 上最大化 $a_1{x}_1$，第二项来自在 $[-1,1]$ 上最大化 $a_2{x}_2$。例如 $h_C(3,4)=10$，由顶点 $(2,1)$ 达到。

沿固定法向量平移等值线，最后接触集合的位置给出支撑函数值。

上确界与支撑超平面的关系

若 $h_C(a)$ 有限且在 $x_0\in C$ 达到，$a\ne 0$，则 $a^{𝖳}x=h_C(a)$ 是支撑超平面。主例中该直线为 $3x_1+4x_2=10$。若方向改为 $(0,4)$，支撑值为四，整条上边都达到它；因此支撑函数是一个数，不自动指定唯一接触点。

变式取开矩形 $(0,2)\times (-1,1)$，支撑函数仍为相同公式，但方向 $(3,4)$ 的上确界十无法达到，因为需要两个坐标同时取被排除的端点。可用点 $(2-1/k,1-1/k)$ 逼近十，任一有限 $k$ 却都严格小于十。这区分了上确界与最大值。

正齐次性与次可加性

对 $t>0$，将上确界中的内积整体乘 $t$，得到 $h_C(ta)=t{h}_C(a)$；另外 $h_C(0)=0$。当某方向的值无穷时，把 $t=0$ 代入乘法会遇到未定义的 $0\cdot \mathrm{\infty }$，所以零方向应单独说明。

对每个 $x\in C$ 有 $(a+b{)}^{𝖳}x\le h_C(a)+h_C(b)$，取上确界得到 $$h_C(a+b)\le h_C(a)+h_C(b).$$ 结合正齐次性即可推出凸性。等号不总成立：在主例取 $a=(1,0)$、$b=(-1,0)$，右边为二，左边 $h_C(0)=0$。两个方向各自的最优点不同，不能要求同一点同时实现两个上界。

平移满足 $h_{C+c}(a)=h_C(a)+a^{𝖳}c$；线性像满足 $h_{AC}(a)=h_C(A^{𝖳}a)$。两式都可直接将 $x+c$ 或 $Ax$ 代回定义。它们说明支撑值可以为负，例如单点集 $\{(2,0)\}$ 在方向 $(-1,0)$ 上的支撑值为负二，不是普通的非负距离。

支撑函数确定闭凸集合

对任意非空 $S$，有 $h_S=h_{\mathrm{conv}S}=h_{\overline{\mathrm{conv}S}}$。因为线性函数在凸组合上的值是原值的加权平均，不会超过原上确界；取闭包也不改变连续线性函数的上确界。于是支撑函数不能区分一个集合与它的闭凸包，例如两个端点和连接它们的线段具有相同支撑函数。

反过来，非空闭凸集满足 $$C=\bigcap _{a\in {ℝ}^n}\{x:a^{𝖳}x\le h_C(a)\}.$$ 正向包含直接来自上确界定义。若 $x\notin C$，取它在 $C$ 中的最近点 $p$，令 $a=x-p\ne 0$。最近点条件给出 $a^{𝖳}(z-p)\le 0$ 对全部 $z\in C$ 成立，因此 $h_C(a)=a^{𝖳}p$。但 $$a^{𝖳}x=a^{𝖳}p+\Vert x-p{\Vert }^2>h_C(a).$$ 所以外点被其中一个半空间排除，反向包含得证。最近点条件可由比较线段 $p+t(z-p)$ 与 $p$ 的距离并令 $t\downarrow 0$ 得到；闭性保证最近点存在，凸性保证该线段仍在集合中。

无界集合的有限方向

无界不等于所有非零方向支撑值都无穷。例如射线 $C=\{(t,0):t\ge 0\}$ 的支撑函数在 $a_1\le 0$ 时为零，在 $a_1>0$ 时为 $+\mathrm{\infty }$。它同时记录了沿正方向可无限延伸，以及反方向被原点限制。对凸锥，采用本文正号的对偶锥约定，支撑函数在 $-K^{\ast }$ 上为零，其余方向为无穷；负号正来自“取上界”和“内积非负”两个约定的区别。