斯凯拉姆分布

斯凯拉姆分布（Skellam distribution）描述两个独立泊松计数的差。差可以为负数、零或正数；两个计数都很大而彼此抵消，也可能产生零。因此，净变化为零不等于没有事件发生。

例如，在一个固定时段内，某个合成库存系统的入库数 X 和出库数 Y 相互独立，分别服从参数二和一的泊松分布。净增加量 $D=X-Y$ 的均值为一，方差却为三。用参数一的泊松分布代替它，会错误排除净减少的情形。

从联合计数求差的质量

设 $X\sim \mathrm{Poisson}({\mu }_1)$、$Y\sim \mathrm{Poisson}({\mu }_2)$ 相互独立，其中 ${\mu }_1,{\mu }_2>0$。则 $D=X-Y$ 的正概率支撑是全部整数。对整数 $k\ge 0$，将事件 $D=k$ 按 $Y=j$ 划分，得到 $$Pr(D=k)=e^{-({\mu }_1+{\mu }_2)}\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\mu }_1^{j+k}{\mu }_2^j}{(j+k)!j!}.$$ 定义整数阶第一类修正贝塞尔函数 $$I_r(z)=\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(z/2{)}^{2j+r}}{j!(j+r)!},r=0,1,2,\dots .$$ 提出 $({\mu }_1/{\mu }_2{)}^{k/2}$，再对负 k 交换 X 和 Y，就能统一写为 $$Pr(D=k)=e^{-({\mu }_1+{\mu }_2)}{\left(\frac{{\mu }_1}{{\mu }_2}\right)}^{k/2}{I}_{|k|}(2\sqrt{{\mu }_1{\mu }_2}),k\in \mathbb{Z}.$$ 这不是另加的归一化猜测：所有 $(X,Y)$ 非负整数对恰落在某一条差为 k 的对角线上，且联合质量非负。将所有对角线求和就是整个联合分布的质量一。

差值取负数有正概率。仅绘出负六至八，窗口外仍有很小的质量。

主例中，零净变化的质量可直接从 $X=Y$ 的对角线相加： $$Pr(D=0)=e^{-3}\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^j}{(j!{)}^2}\approx \mathrm{0.211712084.}$$ 其中完全没有入库也没有出库只贡献 $e^{-3}\approx 0.049787068$。还有 $(1,1)$、$(2,2)$ 等共同贡献，不能只留原点。数值复算时，级数项 $a_j=2^j/(j!{)}^2$ 满足 $a_{j+1}/a_j=2/(j+1{)}^2$。例如加到 j=6 后，余项从 a7 开始，相邻比不超过 $1/32$，故余项不超过 $a_7/(1-1/32)$；再乘 e的负三次方就给出误差上界。

横轴 j 对应事件 X=Y=j，柱高是它对零净变化的贡献；各柱相加约0.211712。

变换、均值与波动

泊松变量的矩母函数是 $𝔼e^{tX}=\exp [{\mu }_1(e^t-1)]$。独立性给出 $$M_D(t)=𝔼e^{t(X-Y)}=\exp \{{\mu }_1(e^t-1)+{\mu }_2(e^{-t}-1)\},t\in ℝ.$$ 它对所有实数 t 都有限。令 $K(t)=\log M_D(t)$，有 $$K^{\prime }(0)={\mu }_1-{\mu }_2,K^{″}(0)={\mu }_1+{\mu }_2.$$ 前者是均值，后者是方差；减去独立变量不会减去它的方差。主例因此满足 $𝔼D=1$、$\mathrm{Var}(D)=3$。净减少、持平、净增加的概率分别约为0.182584775、0.211712084、0.605703141，三者相加为一。

变式。 将两个强度交换为 ${\mu }_1=1,{\mu }_2=2$。新差变量与原来的负数同分布，故均值变为负一，方差仍为三；持平概率不变，净增加概率改为0.182584775。若两强度相同，质量函数关于零对称。若允许第二个强度趋向零，Y趋向恒为零，差退化为第一个泊松变量；上面的含比值贝塞尔式不应在分母零时直接代入，而应使用构造或取极限。

独立计数的适用范围

这个库存例把出库数视为不受时段内入库数和现有库存限制的外部计数。若库存不能为负，出库会受可用存量制约，独立泊松假设通常需要重新检查。一个明确反例是令 $X=Y=Z$，其中 $Z\sim \mathrm{Poisson}(2)$；两个边际都仍为泊松，但 D恒为零，方差不是四。

另一种相关构造是 $X=U+W,Y=V+W$，U、V、W是相互独立的泊松变量。这时共同事件 W 在差中抵消，$D=U-V$ 仍可使用本分布，但参数是 U、V 的均值，不能把 X、Y 的边际均值原样代入。单凭两个边际分布和一个相关系数，并不足以为任意联合机制推出上述质量函数。