斯托克斯方程

斯托克斯方程（Stokes equations）是描述黏性作用占主导的流体运动的一组线性偏微分方程。对稳态、不可压缩的牛顿流体，它把压力梯度、黏性力和体力联系起来，同时要求速度场满足体积守恒。微小颗粒周围的慢流、薄通道中的黏性输运是典型应用。

本文讨论的是流体方程，与把曲面积分化为边界线积分的斯托克斯定理不同。下面以两块平行板间的压力驱动流为主例：由压差求出每一层的流速，再计算流量、壁面剪切与耗散，借此说明方程各项的实际含义。

方程、单位与近似条件

设 $v(x)$ 为速度向量，$p(x)$ 为压力，流体动力黏度为常数 $\mu >0$，单位体积所受体力为 $f(x)$。稳态不可压缩斯托克斯方程为 $$-\mathrm{\nabla }p+\mu \Delta v+f=0,\mathrm{\nabla }\cdot v=0.$$ $\Delta$ 对速度每个分量分别作用；$\mathrm{\nabla }\cdot v=\sum _j\partial v_j/\partial x_j$ 表示一个小体积的净流出率为零。压力单位为 $\mathrm{P}\mathrm{a}$，黏度单位为 $\mathrm{P}\mathrm{a}\mathrm{s}$，因此方程第一式的各项单位均为 $\mathrm{N}/{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$。压力由约束和边界共同决定，并不会因为流速很小而消失。黏性应力和低 Reynolds 数流动的系统推导见 Hinch 的讲义。

它来自不可压缩 Navier–Stokes 方程 $$\rho (v_t+(v\cdot \mathrm{\nabla })v)=-\mathrm{\nabla }p+\mu \Delta v+f.$$ 取特征速度 $U$、长度 $L$，对流惯性与黏性之比为 $$\mathrm{R}\mathrm{e}=\frac{\rho UL}{\mu }.$$ 当 $\mathrm{R}\mathrm{e}\ll 1$ 且流动近似稳态时，可以忽略惯性得到稳态斯托克斯方程。若外力快速变化，低 Reynolds 数本身不足以去掉 $\rho v_t$；保留这一项、只忽略对流惯性，得到的是非稳态斯托克斯方程。近似条件需与所选的时间尺度一起检查。

固体壁面通常采用无滑移条件，即流体速度等于壁面速度。对静止壁面就是 $v=0$。只指定速度时，方程中压力只通过梯度出现，故加上任意常数仍是同一解；若边界指定了绝对压力或应力，则须依该条件确定压力基准。

两平板间的速度剖面

设两块静止平板位于 $y=0$ 与 $y=h$，$h>0$ 为完整板间距。考虑远离入口、出口及侧壁的充分发展单向流： $$v=(u(y),0,0),\frac{\partial p}{\partial x}=-G,G>0,f=0.$$ “充分发展”指速度剖面不再随沿流向位置变化。由于 $u$ 只依赖 $y$，不可压缩条件自动满足；横向方程还说明压力不随 $y$ 改变。流向方程变成 $$G+\mu u^{″}(y)=0.$$ 第一次积分给出 $u^{\prime }=-Gy/\mu +C_1$，第二次为 $u=-G{y}^2/(2\mu )+C_{1}y+C_2$。由 $u(0)=0$ 得 $C_2=0$，再由 $u(h)=0$ 得 $C_1=Gh/(2\mu )$。于是 $$u(y)=\frac{G}{2\mu }y(h-y).$$ 壁面处速度为零，中心处黏性剪切为零、速度最大，这就形成平面 Poiseuille 流的抛物线剖面。Tong 的流体讲义推导了同一平板流问题；比较公式时，应核对间距采用 $h$ 还是 $2h$ 的记号。

板间距 h，沿 x 方向压力降低。每一层的箭长按 u(y)∝y(h−y) 绘制；中心最快，静止壁面满足无滑移。

最大速度由 $u^{\prime }=G(h-2y)/(2\mu )=0$ 得到，位置为 $y=h/2$： $$u_{max}=\frac{G{h}^2}{8\mu }.$$ 每单位宽度的体积流量为剖面积分 $$q={\int }_0^{h}u(y)\mathrm{d}y=\frac{G}{2\mu }{[\frac{h{y}^2}{2}-\frac{y^3}{3}]}_0^h=\frac{G{h}^3}{12\mu }.$$ 所以平均速度为 $\bar{u}=q/h=G{h}^2/(12\mu )$，最大速度是平均速度的 $3/2$ 倍。若通道宽度 $w$ 远大于 $h$、可忽略侧壁修正，则总流量近似为 $Q=wq$。该公式中的间距是三次方：相同压强梯度下，间距减半，流量降为八分之一。

微通道的可复算例子

取一组理想化教学参数： $$h=10^{-4}\mathrm{m},\mu =10^{-3}\mathrm{P}\mathrm{a}\mathrm{s},\rho =10^3\mathrm{k}\mathrm{g}/{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}},G=120\mathrm{P}\mathrm{a}/\mathrm{m}.$$ 由上式得到 $$q=\frac{120(10^{-4}{)}^3}{12\times 10^{-3}}=10^{-8}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}/\mathrm{s},$$ $$\bar{u}=10^{-4}\mathrm{m}/\mathrm{s},u_{max}=1.5\times 10^{-4}\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$ 以平均速度和完整间距计算 Reynolds 数： $${\mathrm{R}\mathrm{e}}_h=\frac{10^3\times 10^{-4}\times 10^{-4}}{10^{-3}}=\mathrm{0.01.}$$ 这支持忽略对流惯性的尺度判断。若采用宽平板通道的水力直径 $2h$，则同一流动对应 $\mathrm{R}\mathrm{e}=0.02$；报告 Reynolds 数时应同时报告长度定义。

假设 $w=10^{-2}\mathrm{m}$，宽度为间距的百倍，忽略侧壁影响后 $$Q=wq=10^{-10}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}/\mathrm{s}=0.1\mathrm{\mu }\mathrm{L}/\mathrm{s}=6\mathrm{\mu }\mathrm{L}/\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}.$$ 若研究段长 $\ell =10^{-2}\mathrm{m}$，压力差为 $\Delta p=G\ell =1.2\mathrm{P}\mathrm{a}$。这里先明确几何与黏度，再由压差算流量；不是从观察到的抛物线形状直接判断流体一定处于斯托克斯近似。

事实上，本例的速度只依赖横向坐标，$(v\cdot \mathrm{\nabla })v=u{\partial }_{x}v=0$。因此这一充分发展剖面也精确满足相应的稳态 Navier–Stokes 方程。小 Reynolds 数的意义在于一般扰动、入口效应等惯性影响的尺度，而非这条抛物线只能在小 Reynolds 数时满足稳态方程。

剪切应力与黏性耗散

牛顿流体的应力张量为 $$\sigma =-pI+2\mu D,D=\frac{1}{2}(\mathrm{\nabla }v+(\mathrm{\nabla }v{)}^{𝖳}).$$ $D$ 是速度梯度的对称部分，记录形变速率。一般局部黏性耗散功率密度为 $2\mu D:D$，冒号表示对应矩阵元素乘积的总和。在本例只有剪切，故它简化为 $\mu (u^{\prime }{)}^2$。

剖面导数给出剪切应力分量 $${\tau }_{xy}=\mu u^{\prime }=\frac{G}{2}(h-2y).$$ 它在下壁为 $Gh/2$，上壁为 $-Gh/2$。这两个分量异号不表示一面壁推动、一面壁阻碍：边界外法向在上下壁相反。计算作用在流体上的牵引 $\sigma n$，两面壁的流向分量均为 $-Gh/2$，都抵抗正向流动。

Y=y/h。速度 u/u_max=4Y(1−Y)，剪切分量 τ_xy/(Gh/2)=1−2Y。中心速度最大而剪切为零；壁面耗散密度更高。

对单位流向长度、单位宽度，耗散功率为 $$𝒟=\mu {\int }_0^h(u^{\prime }{)}^2\mathrm{d}y=\frac{G^2}{4\mu }{\int }_0^h(h-2y{)}^2\mathrm{d}y=\frac{G^2{h}^3}{12\mu }=Gq.$$ 也可从 $\mu u^{″}=-G$ 乘以 $u$ 积分：边界项 $[\mu u^{\prime }u{]}_0^h$ 为零，故 $\mu \int (u^{\prime }{)}^2=G\int u$。压差所做的功正好变为黏性耗散。对上述数值，$𝒟=1.2\times 10^{-6}\mathrm{W}/{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$；乘以段长与宽度后为 $1.2\times 10^{-10}\mathrm{W}$，也等于 $\Delta pQ$。

速度唯一性与压力常数

设 $\Omega$ 是有界连通区域，边界足够规则，两个足够光滑的解具有同一体力、同一完整边界速度。令它们的速度差为 $w$、压力差为 $q_p$，则 $$-\mathrm{\nabla }{q}_p+\mu \Delta w=0,\mathrm{\nabla }\cdot w=0,w{|}_{\partial \Omega }=0.$$ 把第一式点乘 $w$ 并积分。压力项经分部积分为 $$-{\int }_{\Omega }\mathrm{\nabla }{q}_p\cdot w=-{\int }_{\partial \Omega }{q}_{p}w\cdot n+{\int }_{\Omega }{q}_p\mathrm{\nabla }\cdot w=0.$$ 黏性项则为 $-\mu {\int }_{\Omega }|\mathrm{\nabla }w{|}^2$，边界项仍为零。于是 $$\mu {\int }_{\Omega }|\mathrm{\nabla }w{|}^2\mathrm{d}x=0.$$ 因 $\mu >0$，速度差在连通区域中为常向量，再由零边界得 $w=0$。代回动量式，$\mathrm{\nabla }{q}_p=0$，故压力只差一个常数。这证明了在这些假设下速度唯一、压力在给定基准后唯一。

存在性还要求边界数据相容。若指定边界速度为 $g$，不可压缩性和散度定理要求 ${\int }_{\partial \Omega }g\cdot n\mathrm{d}S=0$。开放通道中，流入量与流出量应相抵；把所有出口封闭却强行指定持续净流入，不可能得到稳态不可压缩解。上述唯一性证明也不自动覆盖不同的开放边界或无限外域条件。