方向导数与梯度

方向导数与梯度把偏导数的坐标方向扩展到平面内任意方向。对单位向量 $𝐮=(u_1,u_2)$，方向导数定义为 $$D_{𝐮}f(a,b)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(a+h{u}_1,b+h{u}_2)-f(a,b)}{h}.$$ 参数 $h$ 是沿该单位方向的有向距离；若没有把方向向量归一化，同一个几何方向只因向量长度不同便会得到不同数值。

从局部线性近似得到点积

若 $f$ 在 $(a,b)$ 可微，则小改变量满足 $$f(a+p,b+q)-f(a,b)=f_x(a,b)p+f_y(a,b)q+o(\sqrt{p^2+q^2}).$$ 取 $(p,q)=h𝐮$ 并除以 $h$，余项趋零，故 $D_{𝐮}f=\mathrm{\nabla }f\cdot 𝐮$，其中 $\mathrm{\nabla }f=(f_x,f_y)$ 称梯度。柯西不等式给出 $D_{𝐮}f\le \Vert \mathrm{\nabla }f\Vert$；梯度非零时，等号在 $𝐮=\mathrm{\nabla }f/\Vert \mathrm{\nabla }f\Vert$ 取得。这是单位距离意义下的最大一阶上升方向。

取 $f(x,y)=x^2+2y^2$，在 $(1,1)$ 梯度为 $(2,4)$。沿单位向量 $(3/5,4/5)$ 的方向导数是 $2(3/5)+4(4/5)=22/5$；最大方向导数为 $\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，略大于 $22/5$。沿等值线的一阶切向变化为零，因为切向量与梯度垂直。这三个数可以在等高线图上分别读成沿指定箭头、最陡箭头、切向箭头的高度变化。

公式 $D_{𝐮}f=\mathrm{\nabla }f\cdot 𝐮$ 不能只凭“两个偏导数存在”就套用。偏导数中的反例在原点两坐标偏导都是零；沿单位对角方向取正、负两侧差商，却分别趋于 $1/2$ 与 $-1/2$，双侧方向导数甚至不存在。那里缺少统一的可微线性近似。梯度描述局部一阶变化的完整性，依赖可微这个条件。

在点一一处，红箭头表示最大一阶上升方向，黄箭头沿等值线切向移动，点积为零。

参考资料

• OpenStax《Calculus Volume 3》§4.6：方向导数、梯度与等值线。
• 同书 §4.4：可微性与线性近似。