施瓦茨引理

施瓦茨引理（Schwarz lemma）说明：把单位圆盘全纯映入自身并固定原点的函数，不能把任何点的模放大；若在非零点或原点导数处达到极限，只能是绕原点的旋转。定理同时约束函数值与导数，关键前提是固定原点。

记单位圆盘为 $𝔻=\{z:|z|<1\}$。若 $f:𝔻\to 𝔻$ 全纯，且 $f(0)=0$，则 $$|f(z)|\le |z|,|f^{\prime }(0)|\le 1.$$ 若某个非零内部点满足 $|f(z)|=|z|$，或者 $|f^{\prime }(0)|=1$，则存在实数 $\theta$ 使 $f(z)=e^{i\theta }z$。

约去必有的一次零点

因为 $f$ 在零全纯且值为零，泰勒展开从一次或更高次开始。因此 $g(z)=f(z)/z$ 在零可全纯补值，补值是 $f^{\prime }(0)$。任取 $0<r<1$，在圆周 $|z|=r$ 有 $$|g(z)|=|f(z)|/r\le 1/r.$$ 对闭圆盘使用最大模原理，内部也有这一上界。固定某个 $z$，再让 $r$ 从大于 $|z|$ 的位置趋向一，得到 $|g(z)|\le 1$。乘回 $|z|$ 得第一个结论，在零取值则得导数结论。

若非零点取等号，则 $|g|$ 在内部达到最大值一；若导数取等号，则 $|g(0)|=1$，同样如此。最大模原理迫使 $g$ 为模一常数，于是 $f$ 只能为旋转。等号不只是某一点计算相同，而会决定整个函数的形状。

平方映射与旋转的比较

取 $f(z)=z^2$。它将单位圆盘映入自身，固定零，且对 $0<|z|<1$， $$|f(z)|=|z{|}^2<|z|.$$ 例如 $z=(1+i)/2$ 的模为 $1/\sqrt{2}$，像为 $i/2$，像的模为 $1/2$；两者之比为 $1/\sqrt{2}$。原点导数为零，也没有达到导数上界。

两曲线比较径向大小，不表示所有圆盘映射都把每条射线映成射线。等号旋转在每个半径都达到上界。

变式。 对 $g(z)=e^{i\pi /3}z$，每点的模均不变，导数模为一，因此属于等号情形。在 $z=1/2$，像为 $1/4+i\sqrt{3}/4$，其模仍为 $1/2$。旋转不必是恒等映射；只有再要求导数本身等于一，才消去旋转角。

固定点假设与平移后的版本

对实数 $0<a<1$，圆盘自同构 $${\varphi }_a(z)=\frac{z-a}{1-az}$$ 在零取值为负 $a$。若不要求固定零，便会出现 $|{\varphi }_a(0)|=a>0$，直接违反 $|f(0)|\le |0|$。映入圆盘的性质可从 $$1-|{\varphi }_a(z){|}^2=\frac{(1-a^2)(1-|z{|}^2)}{|1-az{|}^2}>0$$ 验证。一般复参数把分母中的 $a$ 改为 $\bar{a}$ 即可。

若 $f:D(a,R)\to D(b,S)$ 全纯且 $f(a)=b$，令 $$F(\zeta )=\frac{f(a+R\zeta )-b}{S}.$$ 对归一化后的 $F$ 使用引理，得到 $$|f(z)-b|\le \frac{S}{R}|z-a|,|f^{\prime }(a)|\le S/R.$$ 这个导数界只直接控制所固定的中心。不能据 $|f^{\prime }(0)|\le 1$ 就断言单位圆盘内处处导数模至多一：平方映射在实点 $0.9$ 的导数为 $1.8$。

参考文献

Jiří Lebl，Guide to Cultivating Complex Analysis，1.9，2026-07-11，§3.5.1—3.5.2（施瓦茨引理、等号与圆盘自同构）。