最大模原理

最大模原理（maximum modulus principle）断言：连通区域上的非常值全纯函数，其模不能在区域内部取得局部最大值。如果函数还连续到有界区域的边界，那么闭区域上的模最大值一定能在边界找到。

它约束的是复函数的模，不是说实部、虚部都必须单调，也不是说内部不能有模的最小值。$f(z)=z$ 在零处就有模的最小值零。

局部版本与边界版本

设 $\Omega \subset ℂ$ 是连通开集，$f$ 在其中全纯。若存在内部点 $a$ 及其小邻域，使 $|f(z)|\le |f(a)|$，则 $f$ 在整个 $\Omega$ 为常数。

因此若 $\Omega$ 还非空有界，$f$ 连续到闭包，紧致性保证 $|f|$ 在闭包有最大值。若最大点在内部，局部版本使函数恒定；若函数不恒定，最大点只能位于边界。即使函数恒定，边界也同样达到该值。

圆平均值中取等号的证明

反设 $|f|$ 在内部点 $a$ 达到局部最大 $M$。若 $M=0$，该点小邻域中函数都为零，恒等定理（复分析）即给出整体为零。若 $M>0$，乘以一个模一常数旋转函数值，使 $f(a)=M$ 为正实数。

对充分小的每个半径 $r$，由柯西积分公式的圆平均形式， $$M=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(a+r{e}^{it})dt.$$ 取实部。圆周上 $\mathrm{\Re }f\le |f|\le M$，因此连续非负函数 $M-\mathrm{\Re }f$ 的积分为零。它在圆周上每点都必须为零，于是 $\mathrm{\Re }f=M$。又因 $|f|\le M$，虚部只能为零，故圆周上 $f=M$。

这个论证对每个充分小的半径成立，所以一个开圆盘内函数恒定。恒等定理再把恒定性传播到整个连通区域，证明完成。平均值等于局部上界的刚性，正是这个原理的核心。

单位圆盘上的精确最大值

取 $p(z)=z^2+2z$。在闭单位圆盘中， $$|p(z)|\le |z{|}^2+2|z|\le 3.$$ 当 $z=1$ 时，$p(1)=3$，故最大模恰为三。若 $|z|<1$，第二个不等式严格小于三，说明内部无最大点。由于 $p(0)=0$，内部却有模最小值；最大与最小不能混为同一结论。

只计算实区间 $[-1,1]$ 上的极值，不能一般地代表复圆盘上的模最大值。这里的上界对任意复数都成立，才完成了整个圆盘的计算。

变式。 在闭环域 $1\le |z|\le 2$ 上取 $f(z)=1/z$。模为 $1/|z|$，最大值一在内圆上取得，外圆上仅为 $1/2$。边界原理指全部边界分量，不单指最外侧的一条曲线。

对倒数函数，较大的模在内边界。图中的颜色标明模值，并非把实函数的山顶投影成圆。

最小模与条件缺失

如果函数在区域内没有零点，$1/f$ 也全纯，对它用最大模原理可得相应的最小模结论：非恒定函数的正模不能在内部取得局部最小。若有零点，这个推理不成立，因为倒数在那里没有定义。

有界性对于直接写闭包最大值也很重要。上半平面上的 $f(z)=e^{-iz}$ 在实轴边界模恒为一，内部 $|f(x+iy)|=e^y$ 却无界；不能只看这一条非紧边界便宣称内部模不超过一。

实光滑的非全纯函数 $e^{-|z{|}^2}$ 在零有严格模最大值，说明全纯性同样是实质条件。原理也不能把区域的不同连通分支串起来：在一个分支恒定，只能先得出该分支上的结论。

参考文献

Jiří Lebl，Guide to Cultivating Complex Analysis，1.9，2026-07-11，§3.3.3（最大模原理的圆平均证明及有界区域边界形式）。