最大耦合

对于两个概率分布，最大耦合是在保留两个边缘分布的所有联合分布中，使两个样本相等的概率尽可能大的耦合。两个相同分布可以令样本总相等；分布越不相同，可共同匹配的概率质量越少。

离散构造

先讨论有限状态集 $S$。设 $p_i=Pr(X=i)$、$q_i=Pr(Y=i)$，令共同质量 $r_i=min(p_i,q_i)$，以及 $$d=1-\sum _{i\in S}{r}_i=\frac{1}{2}\sum _{i\in S}|p_i-q_i|.$$ 右侧是离散情形的全变差距离。任意耦合都满足 $Pr(X=Y=i)\le r_i$，因此 $Pr(X=Y)\le 1-d$。

这个上界可以达到。先以质量 $r_i$ 在对角位置放置 $(i,i)$。若 $d>0$，余下的第一个边缘与第二个边缘质量分别为 $p_i-r_i$、$q_j-r_j$；将余量按照 $$Pr(X=i,Y=j)=\frac{(p_i-r_i)(q_j-r_j)}{d}$$ 分配。对同一个 $i$，至少有一个余量为零，所以这部分不增加对角质量。对 $j$ 求和，得到余边缘 $p_i-r_i$；加回对角质量便是 $p_i$，另一边同理。总相等概率恰为 $\sum _i{r}_i=1-d$。若 $d=0$，两个边缘完全相同，直接取 $X=Y$ 即可，避免除以零。

三个状态的算例

取 $p=(1/2,3/10,1/5)$、$q=(1/5,2/5,2/5)$，则 $r=(1/5,3/10,1/5)$，总共同质量 $7/10$，故最大相等概率为 $7/10$。第一个边缘只在状态一有剩余 $3/10$，第二个边缘在状态二、三分别有 $1/10,2/10$。下面的联合概率表各行之和是 $p$、各列之和是 $q$；对角线之和为 $0.7$。

行表示 X，列表示 Y；对角元素之和等于最大相等概率。

因此 $Pr(X\ne Y)=3/10$，恰好等于全变差距离。另一种耦合也许有相同的边缘，却可能具有更大的不相等概率；最大性是关于所有耦合的最优化性质，不是边缘分布本身给出的具体联合机制。

使用范围

这里的构造给出了有限状态空间中的完整证明。标准 Borel 空间也有一般形式，但连续分布的“共同部分”需要用测度或密度表达，不能把单点概率直接相加。耦合常用于证明马尔可夫链分布接近：一旦构造出两个过程并控制它们尚未相遇的概率，就能为全变差距离给出上界；但一次最大耦合不自动给出整个时间过程的最优耦合。