有理函数与渐近线

有理函数是两个多项式的商 $R(x)=P(x)/Q(x)$，其中 $Q$ 不恒为零。研究图像时，先排除 $Q(x)=0$ 的输入，再区分这些点是可补的缺口，还是函数值无界增长的竖直渐近线。

一条曲线的缺口和渐近线

取 $$R(x)=\frac{2x^2+x-3}{x^2-1}=\frac{(2x+3)(x-1)}{(x-1)(x+1)}.$$ 原式在 $x=1$ 和 $x=-1$ 都没有定义。约去公因子后，对其他输入有 $R(x)=2+1/(x+1)$。在 $x=1$ 附近，函数趋于 $5/2$，但原式没有这个函数值，图像留下点 $(1,5/2)$ 的缺口。约分不能把它自动补上。

在 $x=-1$ 附近，$1/(x+1)$ 从左侧趋于负无穷，从右侧趋于正无穷，所以 $x=-1$ 是竖直渐近线。两侧方向须分别检查；分母为零本身不足以断定有渐近线，$x=1$ 正是反例。

当 $x\to \pm \mathrm{\infty }$，$1/(x+1)\to 0$，故 $y=2$ 是水平渐近线。它表示远处函数与直线的竖直差趋零，并不要求图像永远不碰直线；例如 $1+x/(x^2+1)$ 以 $y=1$ 为水平渐近线，却在 $x=0$ 与这条直线相交。

用多项式除法看远处形状

若分子次数低于分母次数，远处的函数值趋零；次数相同，则趋于首项系数之比。若分子恰比分母高一次，做多项式除法可写成 $R(x)=ax+b+r(x)/Q(x)$，其中余项在无穷远处趋零时，$y=ax+b$ 是斜渐近线。具体算 $(x^2+1)/(x-1)=x+1+2/(x-1)$，因此远处贴近 $y=x+1$。渐近线并不是靠目测延长曲线得到的，而是一个极限结论。

参考资料

• OpenStax《Precalculus 2e》§3.7：定义域、缺口及渐近线。
• 同书 §3.5：商余式与斜渐近线的计算工具。