有限域

有限域是只含有限个元素的域。在其中可以加、减、乘，并且除以任意非零元素；所有运算结果仍在同一个有限集合里。有限域用于编码、密码学和离散数学，但其运算不一定等同于普通整数的四则运算。

从模素数到四个元素

若 $p$ 是素数，则整数模 $p$ 的剩余类构成域 ${𝔽}_p$。例如模 2 时 $1+1=0$。并非每个有限域都能简单地用模整数的乘法得到：整数模 4 的环中 $2\cdot 2=0$，有非零零因子，因此不是域。

要构造四元素域，从 ${𝔽}_2[x]$ 出发，考虑 $x^2+x+1$。这个多项式在 $0,1$ 处都取值 1，没有一次因子，因此在 ${𝔽}_2$ 上不可约。取商环 $${𝔽}_4={𝔽}_2[x]/(x^2+x+1).$$ 记 $\alpha$ 为 $x$ 的陪集，就有 ${\alpha }^2+\alpha +1=0$，即 ${\alpha }^2=\alpha +1$。每个陪集都有次数小于二的唯一代表，四个元素是 $0,1,\alpha ,\alpha +1$。

计算与逆元

系数按模 2 相加，例如 $\alpha +\alpha =0$。乘法先按多项式相乘，再用 ${\alpha }^2=\alpha +1$ 化简。于是 $$\alpha (\alpha +1)={\alpha }^2+\alpha =1.$$ 因此 $\alpha$ 与 $\alpha +1$ 互为逆元；$1$ 的逆元是自身。四个元素中每个非零元素都有逆元，直接验证了这个商环是域。

再算一次：$(\alpha +1{)}^2={\alpha }^2+1=\alpha$，中间项 $2\alpha$ 在特征 2 中为零。把整数公式直接照搬而忘记运算所在的域，容易得到错误结果。

有限域的阶

有限域的特征必为某个素数 $p$，因而它包含一个与 ${𝔽}_p$ 同构的最小子域。把它看作这个子域上的有限维向量空间，若维数为 $m$，每个坐标有 $p$ 种选择，所以元素总数是 $p^m$。

反过来，对每个素数幂 $p^m$，确有一个这样的有限域；同阶有限域彼此同构。这个存在唯一性结论需要进一步构造和证明，不能只由元素计数推出。非零元素在乘法下构成群；对上面的四元素域，该群为 $\{1,\alpha ,\alpha +1\}$，且 ${\alpha }^3=1$。