条件似然

条件似然（conditional likelihood）是根据给定某项统计量后的条件分布，构造目标参数的似然。在适当的模型中，条件化能精确消去干扰参数；但条件分布必须从原来的联合分布推出，不能只把不想估计的参数删去。

设两个独立计数满足 $X\sim \mathrm{Poisson}(\lambda \theta )$、$Y\sim \mathrm{Poisson}(\lambda )$，其中 $\lambda >0$ 是共同基准强度，$\theta >0$ 是我们关心的强度比。观察到教学计数 $X=6,Y=4$；不知道基准强度时，仍希望判断两个通道的相对强弱。

给定总数后的分布

令 $T=X+Y$。独立泊松变量之和服从均值 $\lambda (1+\theta )$ 的泊松分布。对固定整数 $t\ge 0$、$0\le x\le t$，将联合概率除以总数概率： $$\begin{array}{cc}Pr(X=x,Y=t-x)& =\frac{e^{-\lambda (1+\theta )}{\lambda }^t{\theta }^x}{x!(t-x)!},\\ Pr(T=t)& =\frac{e^{-\lambda (1+\theta )}{\lambda }^t(1+\theta {)}^t}{t!}.\end{array}$$ 相除时相同的指数与 ${\lambda }^t$ 消去，剩下 $$Pr(X=x\mid T=t)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{t}{x})\frac{{\theta }^x}{(1+\theta {)}^t}.$$ 因此条件分布是二项分布，成功率 $p=\theta /(1+\theta )$，共同基准强度不再出现。

主例总数为十，条件似然为 $L_c(\theta )\propto {\theta }^6/(1+\theta {)}^{10}$。对数导数是 $${{\ell }_c}^{\prime }(\theta )=\frac{6}{\theta }-\frac{10}{1+\theta }=\frac{6-4\theta }{\theta (1+\theta )}.$$ 分母为正，导数在 $\theta =3/2$ 两侧由正变负，故条件极大似然估计为 $3/2$，对应 $\hat{p}=0.6$。

给定十次总事件后，横轴是其中属于X通道的个数。曲线不需要指定共同基准强度。

例如在 $\theta =1$ 下，给定总数十，恰有六个来自X通道的概率为 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{6})/2^{10}=210/1024$。这是一项条件样本概率，不能直接称为假设为真的概率，也不等于包含“至少同样极端”事件的检验p值。

条件化消去了哪些信息

联合概率可以分成 $f_T(t;\lambda ,\theta )$ 与 $f_{X\mid T}(x\mid t;\theta )$ 的乘积。令 $\eta =\lambda (1+\theta )$，参数空间可改写为独立变化的 $\eta >0,\theta >0$：总数只含 $\eta$，通道分配只含 $\theta$。在这个特定模型中，给定总数与最大化共同总强度得到相同的比值估计。

这项性质有模型依据。若基准强度事先已知，或者两个计数不独立，则总数分布可能还携带可用于目标参数的信息，原来的消去与推断均要重算。条件化不是保证保留全部信息的通用操作。

一般条件似然写成 $L_c(\psi ;x)\propto f(x\mid T=t;\psi )$，前提是选定条件分布确实不再含干扰参数。Reid与Fraser讨论了指数族中的这项消去及其适用范围。

目标参数是X强度除以Y强度，因此估计为六除以四；交换通道后估计才取倒数。

变式。 若观察到 $X=0,Y=5$，条件似然正比于 $(1+\theta {)}^{-5}$，在正参数空间内严格下降。上确界只在 $\theta \downarrow 0$ 时达到极限，因而 $\theta >0$ 的开放空间内不存在极大值；若把边界零加入模型，才可报告边界估计零。若总数为零，条件分布只有一个结果，对强度比完全没有信息。

剖面似然通过最大化干扰参数处理它，条件似然通过条件分布处理它。两种运算在本泊松比值模型中相容，不意味着在任意参数变换或任意模型下都相同。