柯西分布

柯西分布（Cauchy distribution）是一族在整条实数轴上取值的连续分布，以位置 $x_0\in ℝ$ 和正尺度 $\gamma >0$ 为参数。它的中心对称性与正态分布相似，但尾部衰减较慢，均值和方差均不存在。这个例子表明，对称曲线的中心不一定是数学期望。

可以从一个随机方向引出标准柯西分布。设角度 $\Theta$ 在 $(-\pi /2,\pi /2)$ 上均匀，令 $Z=\tan \Theta$。角度接近竖直方向时，正切值非常大；这种端点放大形成重尾。

角度变换、密度与分位数

因为正切在该区间严格递增， $$F_Z(z)=Pr(\Theta \le \arctan z)=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi }\arctan z.$$ 求导得到 $f_Z(z)=1/[\pi (1+z^2)]$。又因反正切在正负无穷处的极限相差 $\pi$，密度积分为一。令 $X=x_0+\gamma Z$，变量变换给出 $$f_X(x)=\frac{1}{\pi \gamma [1+((x-x_0)/\gamma {)}^2]},F_X(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi }\arctan \frac{x-x_0}{\gamma }.$$ 闭支撑为 $ℝ$，各单点概率为零。解 $F_X(x)=p$，得到分位数 $$Q(p)=x_0+\gamma \tan [\pi (p-1/2)],0<p<1.$$ 所以中位数为 $x_0$，两四分位数为 $x_0\pm \gamma$；尺度等于四分位距的一半。

两者中心均在零，但柯西尾部更厚；截取图窗并不截断实际分布。

对称积分不等于期望

对标准柯西变量，正部的一阶积分为 $${\int }_0^{M}z{f}_Z(z)\mathrm{d}z=\frac{1}{2\pi }\log (1+M^2)⟶\mathrm{\infty }.$$ 负部积分同样发散。期望不能定义为 $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$，所以 $𝔼Z$ 不存在。尽管每个对称截断都满足 ${\int }_{-M}^{M}z{f}_Z(z)\mathrm{d}z=0$，这个柯西主值不是通常的概率期望。二阶积分也发散，因此方差和基于它的标准差都没有定义。

更一般地，$𝔼|Z{|}^r$ 在 $-1<r<1$ 时有限。零附近的被积函数与 $|z{|}^r$ 同阶，要求 $r>-1$；无穷远处与 $|z{|}^{r-2}$ 同阶，要求 $r<1$。这种两端检查比仅根据图像判断“尾部够不够薄”更明确。

A(M)=log(1+M²)/(2π) 持续无界增长，不能以对称抵消定义期望。

图中画出的正部截断一阶积分随截断位置持续增大。纵坐标的缓慢增长并不表示它终于达到有限水平，解析式中的对数仍然无界。

区间概率与位置估计

设 $X\sim \mathrm{Cauchy}(10,2)$。求落在八到十二之间的概率，先标准化为 $-1\le Z\le 1$，所以 $$Pr(8\le X\le 12)=\frac{\arctan 1-\arctan (-1)}{\pi }=\frac{1}{2}.$$ 八和十二正好是两四分位数。作为变式，取区间 $[10-2\sqrt{3},10+2\sqrt{3}]$，其标准化端点为 $\pm \sqrt{3}$，概率为 $2/3$。这两个结果都来自面积或累积分布差，不是密度在端点的值。

若一组独立同分布样本来自柯西分布，可以估计其中位数或位置参数，但不能把它称为估计一个已存在的总体均值。有限样本的算术平均当然可计算；这不产生有限的总体期望，也不能据此引用要求可积性的通常大数定律。用样本中位数描述中心，与用样本标准差描述总体方差，是不同的问题。

独立标准正态变量之比也有标准柯西分布。可取联合密度 $(2\pi {)}^{-1}{e}^{-(x^2+y^2)/2}$，令 $x=zy$ 并对 $y$ 积分： $$f_Z(z)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|y|e^{-(1+z^2)y^2/2}\mathrm{d}y=\frac{1}{\pi (1+z^2)}.$$ 分母接近零会把比值放大，这与随机角度的解释一致；若两个正态变量相关或均值不为零，就不能直接套用这一标准结论。