柯西积分定理

柯西积分定理（Cauchy's integral theorem）说明，在适当区域内，全纯函数沿闭曲线的积分为零。与实函数在闭区间上的积分不同，复围道积分不仅取决于被积函数，也取决于曲线围住的区域能否避开奇点。

例如 $f (z) = z^{2}$ 有全局原函数 $z^{3} / 3$ ，沿任何分段光滑闭曲线积分都为零。但 $1 / z$ 沿逆时针单位圆的积分是 $2 π i$ 。它在圆周的每一点都全纯，问题出在内部的原点。

三角形版本与区域版本

柯西—古萨定理的一个基础形式是：若闭三角形 $T$ 连同内部包含于开集 $Ω$ ，且 $f$ 在 $Ω$ 上全纯，则 $\oint_{\partial T} f (z) d z = 0.$ 边界取正向，亦即行进时三角形内部在左侧。这里不额外假设 $f^{'}$ 连续；复可微性本身就足以导出结论。

由三角形形式可得到常用的整体定理：若 $Ω$ 单连通、 $f$ 在其中全纯，则每条位于 $Ω$ 内的分段 $C^{1}$ 闭曲线 $γ$ 都满足零积分。单连通使闭曲线可以在区域内缩到一点；用三角形细分及极限可证明积分在这种变形中不变。下面完整证明局部三角形结论，整体的同伦推广可见所列讲义§4.3—4.5。

四分三角形的证明

记原三角形上的积分为 $I_{0}$ 。连接三边中点，得到四个边长减半的小三角形，均按正向走边。公共边被反向经过两次，贡献恰好抵消，所以四个小积分之和为 $I_{0}$ 。至少有一个小三角形的积分模不小于 $| I_{0} | / 4$ 。

三角形连接三边中点分成四块，选中一块继续细分，内部边方向成对相反 — 每次选取积分模至少保留四分之一的一块；直径和周长则都减半。证明比较的是这两种缩小速度。

对选中的三角形重复操作，得到嵌套闭三角形 $T_{n}$ 。设原直径为 $d$ 、周长为 $L$ ，则 $\begin{matrix} | I_{n} | & \geq 4^{- n} | I_{0} |, \\ diam T_{n} & = 2^{- n} d, \\ length (\partial T_{n}) & = 2^{- n} L . \end{matrix}$ 这些三角形有一个共同极限点 $a \in T$ 。由 $f$ 在 $a$ 处复可微，给定任意 $ε > 0$ ，充分接近 $a$ 时可以写成 $\begin{matrix} f (z) & = f (a) + f^{'} (a) (z - a) + r (z), \\ | r (z) | & \leq ε | z - a | . \end{matrix}$ 常数项和一次项都有原函数，沿闭三角形的积分为零。因此，对足够大的 $n$ ，只需估计余项： $| I_{n} | \leq ε (2^{- n} d) (2^{- n} L) .$ 与前面的下界相合，得到 $| I_{0} | \leq ε d L$ 。由于 $ε$ 可任意小，必有 $I_{0} = 0$ 。这个论证的关键是复可微提供了比一次距离更小的误差，而不是仅从图上认为小三角形的积分“差不多为零”。

有孔区域中的一次完整计算

取 $γ (t) = e^{i t}$ ， $0 \leq t \leq 2 π$ 。则 $\oint_{γ} \frac{d z}{z} = \int_{0}^{2 π} \frac{i e^{i t}}{e^{i t}} d t = 2 π i .$ 函数在去心平面全纯，但去心平面不单连通。若它在去心平面有单值原函数，闭曲线积分应为零，因而上述计算也证明这样的原函数不存在。

若只在右半平面 $ℜ z > 0$ 取闭曲线，则可以选择单值的对数分支作原函数，积分又变成零。决定差异的是允许曲线经过和变形的区域，不是“分母出现了 $z$ 就一定非零”。

变式。 在环域 $1 < | z | < 3$ 中，分别沿半径二的逆时针圆计算 $1 / z$ 与 $1 / z^{2}$ 的积分。前者仍为 $2 π i$ ，后者为零，因为 $- 1 / z$ 是后者在该环域中的原函数。单连通是对所有全纯函数都保证零积分的充分条件；某个函数在有孔区域仍可能有原函数。

此定理与柯西积分公式并不矛盾。后者的被积函数含有求值点处的核 $1 / (z - a)$ ，在被围住的点不全纯，不能直接套用零积分结论。

参考文献

Jiří Lebl，Guide to Cultivating Complex Analysis，1.9，2026-07-11，§3.2.2（Cauchy–Goursat三角形证明），§4.3—4.5（单连通与同伦形式）。