柯西积分公式

柯西积分公式（Cauchy integral formula）用边界上的函数值恢复内部的全纯函数。它还把高阶导数变成同一条边界上的积分。这里的边界数据并非可以任意指定：函数须在边界及其内部附近全纯，求值点也必须在曲线内部。

例如沿逆时针圆周 $|z|=2$ 积分， $${\oint }_{|z|=2}\frac{e^z}{z-1/2}dz=2\pi i{e}^{1/2}.$$ 分母中出现的 $1/2$ 是求值位置。圆周的作用是把这个点围在里面，不是把每个边界点都代进指数后再作平均。

圆盘上的准确陈述

设 $f$ 在闭圆盘 $\overline{D(c,R)}$ 的一个开邻域内全纯，$\gamma$ 是圆周 $|\zeta -c|=R$，方向为逆时针。对每个 $a\in D(c,R)$， $$f(a)=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{\gamma }\frac{f(\zeta )}{\zeta -a}d\zeta .$$ 圆盘里的积分变量写作 $\zeta$，求值点写作 $a$，这样二者不会混淆。一般的简单闭曲线也有相应版本，需要其内部及边界附近满足同样的全纯条件。

固定求值点a后，把大圆上的积分移到围住a的小圆；连接切口两侧方向相反，贡献抵消。

缩小圆周的证明

选足够小的 $\rho >0$，使以 $a$ 为中心的闭小圆盘落在大圆内部。函数 $f(\zeta )/(\zeta -a)$ 在两圆之间全纯。沿连接两圆的切口把区域展开，柯西积分定理使区域边界积分为零；切口两侧抵消，因此两个逆时针圆周上的积分相同。

小圆可参数化为 $\zeta =a+\rho e^{it}$，$0\le t\le 2\pi$。代入后，分母与微分中的 $\rho e^{it}$ 消去，得到 $$\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{\gamma }\frac{f(\zeta )}{\zeta -a}d\zeta =\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(a+\rho e^{it})dt.$$ 左端不依赖所选的小半径。由 $f$ 在 $a$ 处连续，右端与 $f(a)$ 的差不超过小圆上 $|f(\zeta )-f(a)|$ 的最大值，该最大值随 $\rho \to 0$ 趋于零，公式成立。这一步既说明常数 $2\pi i$ 的来处，也解释围绕奇点的小圆为何不能直接删掉。

从函数值到各阶导数

求值点在圆内移动时，它与边界之间仍有正距离。核函数对 $a$ 的导数在较小闭圆盘上一致有界，因而可以逐次在积分号下求导： $$f^{(n)}(a)=\frac{n!}{2\pi i}{\oint }_{\gamma }\frac{f(\zeta )}{(\zeta -a{)}^{n+1}}d\zeta .$$ 这里 $n=0,1,2,\dots$。 每求一次导数，分母次数增加一，并带来相应整数因子。不能把分母的幂次直接当成导数阶数；阶数比它少一。

回到主例，把分母改成三次幂。令 $f(z)=e^z$、$a=1/2$、$n=2$。由于 $f^{″}(a)=e^{1/2}$， $$\begin{array}{cc}{\oint }_{|z|=2}\frac{e^z}{(z-1/2{)}^3}dz& =\frac{2\pi i}{2!}{e}^{1/2}\\ & =\pi i{e}^{1/2}.\end{array}$$ 这一结果也可由 $e^{1/2+w}=e^{1/2}(1+w+w^2/2+\cdots )$ 核对：除以 $w^3$ 后，负一次幂项的系数正是 $e^{1/2}/2$。

曲线、方向与估计

变式。 保持被积函数不变，将积分路径换成逆时针 $|z|=1/4$。点 $1/2$ 已在外部，整个位于圆内的被积函数全纯，积分为零。若仍取 $|z|=2$ 而改成顺时针，结果则是 $-\pi i{e}^{1/2}$。半径正好取 $1/2$ 时，路径经过奇点，普通围道积分不能按上式计算。

令 $M_R=\underset{|\zeta -a|=R}{max}|f(\zeta )|$，以 $a$ 为圆心的版本还给出柯西估计 $$|f^{(n)}(a)|\le \frac{n!M_R}{R^n}.$$ 这是把路径长度 $2\pi R$、分母模 $R^{n+1}$ 和前面的系数逐项代入所得。它控制的是整个圆周上的函数大小，不能拿某几个采样点的最大值替代 $M_R$。刘维尔定理（复分析）会用这个估计把全局有界性转化为导数为零。

参考文献

Jiří Lebl，Guide to Cultivating Complex Analysis，1.9，2026-07-11，§3.2.4，§3.3.2（圆盘积分公式及导数公式）。