概率空间与σ代数

概率空间把随机实验写成三元组 $(\Omega ,ℱ,P)$：$\Omega$ 是全部可能结果的集合，$ℱ$ 是允许询问概率的事件集合，$P$ 给每个事件赋予 $[0,1]$ 内的概率。对有限样本空间，常把 $ℱ$ 取为全部子集；对连续结果，事件集合需要更谨慎地选择。

“能观察什么”也构成结构

连续抛两次硬币，令 $\Omega =\{HH,HT,TH,TT\}$。若只记录第一次是否为正面，能区分的事件只有 $\varnothing ,\Omega ,\{HH,HT\},\{TH,TT\}$，它们组成一个 $\sigma$ 代数；“第二次为正面”对应 $\{HH,TH\}$，却不在这个较粗的信息集合里。若实验完整记录两次结果，可改用幂集 $2^{\Omega }$。两种选择并非硬币物理规律改变，而是问题允许观察的信息粒度不同。

三条封闭性与概率公理

$ℱ$ 是 $\Omega$ 上的 $\sigma$ 代数，指它包含 $\Omega$，对补集封闭，并对可数并集封闭。由补集和德摩根律又得 $\varnothing \in ℱ$ 及可数交集封闭。概率满足 $P(\Omega )=1$；对两两不交的可数事件列 $A_i$，满足 $$P\left(\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i\right)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}P(A_i).$$ 取 $\Omega =A\bigsqcup A^c$ 得 $P(A^c)=1-P(A)$；再把 $A\cup B$ 拆成 $A\bigsqcup (B\setminus A)$，得 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$。这些是公理的推论，而非只在“等可能”实验中成立。

实数结果通常用含全部开区间的最小 $\sigma$ 代数——Borel $\sigma$ 代数。这样区间、可数并交以及由它们构成的常见事件可赋概率；不能把实数的任意子集都默认为可测。随机变量正是把样本空间映到实数，并要求“$X\le x$”这类事件在 $ℱ$ 中，才能定义其分布。

参考资料与相关词条

• MIT 6.436J：概率空间课程讲义。
• 相关：概率、随机变量、德摩根律。