德摩根律

德摩根律说明否定怎样穿过“且”“或”，以及补集怎样穿过交集、并集。它不是“把括号拆开”这样一条记忆口诀，而是两条逐元素可核查的等价关系。

从一个人是否在名单里检查

设全集 $U$ 是一所学校的学生， $A$ 是参加数学社的学生， $B$ 是参加物理社的学生。“不同时参加两个社团”可能是一社都没参加，也可能只参加一个。按集合语言，这恰好是 $U ∖ (A \cap B)$ ；按逐项条件，是“不在 $A$ 或不在 $B$ ”。于是 $(A \cap B)^{c} = A^{c} \cup B^{c}, (A \cup B)^{c} = A^{c} \cap B^{c} .$ 第二式说“不参加任一社团”必须同时不在两张名单里。图中的阴影以同一个全集为边界；更换全集会改变补集，写法中的上标 $c$ 不能脱离 $U$ 理解。

同一全集内两个相交圆表示集合A与B，图中把A并B之外的区域写成A的补集与B的补集的交 — 沿集合边界逐区检查并集的补集。

图中的六个编号可看作六位学生： $U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ ， $A = {2, 4, 6}$ ， $B = {1, 2, 3}$ 。只有编号 5 不在 $A \cup B$ ，也只有编号 5 同时在 $A^{c}$ 和 $B^{c}$ ；这是一例具体核对，后面的证明覆盖任意集合。

逐元素证明

任选 $x \in U$ 。有 $x \in (A \cap B)^{c}$ ，当且仅当 $x \notin A \cap B$ ；交集的定义说后一句等价于“ $x \notin A$ 或 $x \notin B$ ”；这又等价于 $x \in A^{c} \cup B^{c}$ 。每一个 $x$ 的归属都一致，所以两集合相等。对第二式把“或”的否定改成“且”即可逐行重做。

命题逻辑中的同一结构是 $\neg (P \land Q) \equiv \neg P \lor \neg Q$ 与 $\neg (P \lor Q) \equiv \neg P \land \neg Q$ 。例如“并非人人都通过”是“至少一人未通过”，而非“人人都未通过”；量词版本见谓词逻辑与量词嵌套。三集合时可重复应用两集合公式，如 $(A \cup B \cup C)^{c} = A^{c} \cap B^{c} \cap C^{c}$ 。

参考资料与相关词条

MIT 18.100A：集合运算与德摩根律。
相关：集合、集合的交并补代数、命题逻辑的语义。