次指数分布

对于具有重右尾的损失，两个独立损失之和超过很高阈值时，常常由其中一个异常大值主导。次指数分布用尾概率的渐近等式精确表达这一现象；此处的术语属于重尾理论，不能与集中不等式中使用的另一种“次指数”变量概念混同。

尾部定义

设 $F$ 是 $[0,\mathrm{\infty })$ 上的分布，尾函数 $\overline{F}(x)=Pr(X>x)$ 对任意充分大的 $x$ 都为正。取独立同分布的 $X,Y\sim F$。若 $$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{Pr(X+Y>x)}{Pr(X>x)}=2,$$ 则称 $F$ 为次指数分布。 分子包含两项都不超过阈值、但和超过阈值的情形；定义说的是这些额外情形在所选尺度上渐近不改变主项，并不是在有限阈值下两次损失中必有一次单独超过阈值。

可以完整算出的例子

设 $X,Y$ 独立，均有 $Pr(X>x)=1/x$（$x\ge 1$），密度为 $f(t)=t^{-2}$（$t\ge 1$）。对 $x>2$，按 $X=t$ 分层；若 $t>x-1$，由于 $Y\ge 1$，和一定超过 $x$，故 $$Pr(X+Y>x)=\frac{1}{x-1}+{\int }_1^{x-1}\frac{dt}{t^2(x-t)}.$$ 将被积式分解为 $$\frac{1}{t^2(x-t)}=\frac{1}{x^{2}t}+\frac{1}{x{t}^2}+\frac{1}{x^2(x-t)}.$$ 逐项积分并整理，得到 $$Pr(X+Y>x)=\frac{2}{x}+\frac{2\log (x-1)}{x^2}.$$ 除以 $Pr(X>x)=1/x$，比值为 $2+2\log (x-1)/x\to 2$，所以这个分布满足定义。阈值为十时，比值约为 $2.4394$，仍明显大于其极限；直接把有限阈值概率写成精确的 $2/x$ 会低估它。

图中实线为上例的精确比值，虚线为渐近极限二。

适用边界

同一分布的固定个数 $n$ 个独立副本相加时，次指数性质进一步推出尾概率与 $n\overline{F}(x)$ 渐近等价；这是一个需要额外论证的推广，不能把上面 $n=2$ 的计算直接当作证明。若各项依赖、尾部不同，或项数本身随阈值变化，结论需要重新检查。

例如标准指数变量之和服从形状为二的伽马分布，其尾概率为 $(1+x)e^{-x}$，除以单变量尾 $e^{-x}$ 得 $1+x\to \mathrm{\infty }$，因此不满足这里的定义。有限样本中的尾部外推还依赖模型选择，渐近关系不提供自动有效的有限样本误差界。