正多边形

正多边形是在欧氏平面中各边等长、各内角也相等的简单多边形；它有唯一中心，顶点都落在同一个圆上。只满足一个条件不够：菱形可四边相等而角不全相等，非正方形的矩形可四角相等而边不全相等。

从中心分出全等三角形

设正 $n$ 边形的中心到顶点距离是 $R$（外接圆半径）。依次连中心与顶点，得到 $n$ 个全等的等腰三角形，每个中心角 $2\pi /n$。把其中一个三角形沿顶角平分线分半，直角三角形给出边长 $s=2R\sin (\pi /n)$，中心到边的垂距即边心距 $a=R\cos (\pi /n)$。

每一片的底是边长 s，高是边心距 a；六片相加可求面积。

每片面积是 $sa/2$，因此整个正多边形面积 $$A=n\frac{sa}{2}=\frac{1}{2}Pa,$$ 其中 $P=ns$ 为周长。公式成立的关键是所有边到中心的距离相同；任意不规则多边形没有统一的边心距，不能套用。

正六边形的精确数值

若正六边形的 $R=2$ 厘米，则 $s=2R\sin (\pi /6)=2$ 厘米，$a=R\cos (\pi /6)=\sqrt{3}$ 厘米。周长12厘米，面积 $\frac{1}{2}\times 12\times \sqrt{3}=6\sqrt{3}$ 平方厘米。也可把六片看作边长2的正三角形，各面积 $\sqrt{3}$，和仍为 $6\sqrt{3}$。

内角由多边形内角和得 $(n-2)180^{\circ }/n$，外角为 $360^{\circ }/n$。$n=6$ 时内角120度、外角60度，和上面每个中心角60度相互呼应，但中心角与外角相等不表示它们画在同一个位置。

参考资料

• OpenStax《Contemporary Mathematics》§10.4：正多边形的边、角与周长。
• 同书 §10.6：边心距与面积。