正弦型函数的振幅周期与相位

正弦型函数 $y=D+A\sin (\omega t+\phi )$ 用周期曲线描述绕定轴旋转的投影、理想振动等现象，其中 $A\ne 0$、$\omega \ne 0$。读图和建模时，应把竖直中心、上下幅度、循环时间与起始位置分别交代；一个波形并不能自动说明它的物理成因。

从普通正弦图像逐项变换

$\sin u$ 在 −1 与 1 之间变化。乘上 $A$ 后，中心到峰值的距离为振幅 $|A|$；再加 $D$，中心线变为 $y=D$，值域为 $[D-|A|,D+|A|]$。

内部角 $u=\omega t+\phi$ 增加 $2\pi$，外面的正弦重复一次。因此最小正周期为 $$T=\frac{2\pi }{|\omega |}.$$ 把内部角写作 $\omega (t+\phi /\omega )$，可看出与 $A\sin (\omega t)$ 相比，图像沿时间轴平移 $-\phi /\omega$；这叫相位对应的水平位移。若 $\omega$ 是弧度每秒，$T$ 的单位就是秒。

从旋转点推到高度

设一只理想转轮的中心高 3 米、半径 2 米，点以角速度 $\pi$ 弧度每秒匀速转动，$t=0$ 时在最低点。最低点对应竖直投影 −2，因此高度模型可写为 $$h(t)=3+2\sin (\pi t-\frac{\pi }{2})=3-2\cos (\pi t),t\ge 0.$$ 在 $t=0$ 高 1 米，$t=1/2$ 高 3 米，$t=1$ 高 5 米，$t=2$ 又回到 1 米。由角速度算出周期 $2\pi /\pi =2$ 秒，与四个时刻的变化吻合。图上的最低点、中心线和最高点分别对应 1、3、5 米，而不是三个独立猜测的参数。

左边的竖直投影随转动改变，右边同一高度在两秒内完成一个周期。

模型假定转轮匀速、半径不变且观察的是同一个点。若实际设备时快时慢，角度应改成随时间变化的 $\theta (t)$，不能继续用固定 $\omega t$。如果测的是一批人在轮上上下车的人数，人数也不会自动服从正弦函数。

从图上的峰谷反求参数

假设某条已知为正弦型的曲线最高值 9、最低值 3，相邻两个峰之间间隔 4 秒。中心线为 $(9+3)/2=6$，振幅为 $(9-3)/2=3$，周期为 4 秒，所以 $|\omega |=2\pi /4=\pi /2$ 弧度每秒。要确定 $\phi$ 及 $A$ 的符号，还需指定一个时刻的值与当时是上升还是下降；仅凭最大值、最小值和周期并不足以唯一确定整条曲线。

练习：$y=1+4\sin (2t)$ 的中心线、振幅和周期分别是什么？中心线 $y=1$，振幅 4，周期 $2\pi /2=\pi$；它的值域为 $[-3,5]$。

参考资料

• OpenStax，《Precalculus 2e》，§6.1：正弦曲线的振幅、周期与平移。
• 继续阅读：圆与弧度、正弦函数与余弦函数的图像和性质、简谐运动。