正弦函数与余弦函数的图像和性质

正弦函数 $y=\sin x$ 和余弦函数 $y=\cos x$ 将角度映为单位圆上点的纵、横坐标。角 $x$ 用弧度计；点绕圆连续运动一周，两个坐标也各完成一次起伏。理解图像时，应能把曲线上的关键点送回圆上的相应位置。

一周的关键位置

从正横轴出发，取五个角度：

$x$	0	$\pi /2$	$\pi$	$3\pi /2$	$2\pi$
$\sin x$	0	1	0	−1	0
$\cos x$	1	0	−1	0	1

在正弦图像上标出 $(0,0)$、$(\pi /2,1)$、$(\pi ,0)$、$(3\pi /2,-1)$、$(2\pi ,0)$。单位圆在这些角度之间连续转动，纵坐标也连续变化；曲线因此不是五个离散点之间任意连出的折线。余弦图像同理，从 $(0,1)$ 开始，比正弦早四分之一周达到峰值。

两条曲线的关键横坐标与上表相同；余弦相对正弦提前四分之一周。

周期、范围与对称

一周之后回到同一单位圆位置，$\sin (x+2\pi )=\sin x$、$\cos (x+2\pi )=\cos x$；两者的最小正周期都是 $2\pi$。坐标不能超过单位圆半径，所以值域均为 $[-1,1]$。正弦在 $\pi /2+2k\pi$ 取最大值 1，在 $3\pi /2+2k\pi$ 取最小值 −1；余弦在 $2k\pi$ 取最大值，在 $\pi +2k\pi$ 取最小值，$k\in \mathbb{Z}$。

由任意角与诱导公式，$\sin (-x)=-\sin x$，所以正弦图像关于原点对称；$\cos (-x)=\cos x$，所以余弦图像关于纵轴对称。还因为 $\cos x=\sin (x+\pi /2)$，两条曲线有相同形状，只是沿横轴平移了四分之一周期。

读图时注明范围

在 $[-\pi /2,\pi /2]$ 上，正弦从 −1 增至 1；在 $[\pi /2,3\pi /2]$ 上，它从 1 降至 −1。说“正弦是增函数”若不写区间便错误，因为它不断上下起伏。同理，余弦在 $[0,\pi ]$ 递减，却在 $[\pi ,2\pi ]$ 递增。

练习：若 $x\in [0,2\pi ]$，求 $\sin x=0$ 的全部解。查单位圆的纵坐标为零时，终点在横轴上，所以 $x=0,\pi ,2\pi$。两端虽然对应同一圆上位置，却是区间内不同的两个角度，不能漏掉任一端点。

参考资料

• OpenStax，《Precalculus 2e》，§6.1：正余弦图像与周期。
• 继续阅读：正切函数的图像与性质、正弦型函数的振幅周期与相位。