汉密尔顿—雅可比方程

汉密尔顿—雅可比方程（Hamilton–Jacobi equation，亦译哈密顿—雅可比方程）是关于一个标量函数及其一阶偏导数的非线性偏微分方程。在力学中，未知函数可以是作用量；在最优控制中，它可以是到达某个位置所需的最小成本。方程把“整条路径中的最优选择”与“当前位置的局部变化率”联系起来。

一个可直接计算的例子是：从任意初始位置出发，先支付与初始位置有关的费用，再支付运动费用，问在规定时间到达给定位置的最低总费用。初始位置不是事先固定的，而是求解的一部分。这个问题会导出最小化公式，也能解释解失去光滑性之后应怎样选择。

方程及变量

设 $x\in {ℝ}^n$、$t>0$，未知函数为 $S(x,t)$。一般形式为 $$S_t+H(x,\mathrm{\nabla }S,t)=0,S(x,0)=g(x).$$ $\mathrm{\nabla }S=(S_{x_1},\dots ,S_{x_n})$ 是空间梯度，$H(x,p,t)$ 称为哈密顿量，$p$ 是代入梯度的位置。$g$ 给出初始费用或初始作用量。不同问题中的 $H$ 不同，不能在没有条件时把所有汉密尔顿—雅可比方程都当作同一个最短路问题。有关特征线、变分公式及黏性解的系统论述见 Ryzhik 的讲义。

本文先研究一维、无量纲的二次哈密顿量 $$H(p)=\frac{p^2}{2},S_t+\frac{1}{2}(S_x{)}^2=0.$$ 它对应单位时间运动费用为速度平方的一半。速度加倍，单位时间费用变成四倍，因此在同样起终点与时间下，忽快忽慢不会比匀速更便宜。

从路径费用到最小化公式

设总时间为 $t>0$，从位置 $y$ 走到 $x$ 的路径为绝对连续函数 $\gamma (s)$，其中 $\gamma (0)=y$、$\gamma (t)=x$。总费用定义为 $$g(y)+{\int }_0^t\frac{\dot{\gamma }(s{)}^2}{2}\mathrm{d}s.$$ 初始费用和沿途费用必须相加后再比较。由柯西不等式， $$(x-y{)}^2={({\int }_0^t\dot{\gamma }(s)\mathrm{d}s)}^2\le t{\int }_0^t\dot{\gamma }(s{)}^2\mathrm{d}s.$$ 故运动费用至少为 $(x-y{)}^2/(2t)$。取直线路径 $\gamma (s)=y+(x-y)s/t$，速度恒定，恰好达到这个下界。于是对路径的最小化可以缩为只对起点的最小化： $$S(x,t)=\underset{y\in ℝ}{inf}\{g(y)+\frac{(x-y{)}^2}{2t}\}.$$ 这称为二次哈密顿量的 Hopf–Lax 公式。对全空间 Lipschitz 连续的初值，它给出相应初值问题的黏性解；一般凸、强制增长的哈密顿量有以其 Legendre 变换表示的推广公式。这里的路径计算说明了二次情形的费用来源，完整的解的存在唯一性定理还包含解的类别与比较原理。

二次初始费用的完整计算

令 $g(y)=y^2/2$。这个初值在全实线上不是 Lipschitz 函数，不过本例的最小化可以直接完成：目标是严格凸的二次式，并且在 $|y|\to \mathrm{\infty }$ 时趋于正无穷。配方得到 $$\frac{y^2}{2}+\frac{(x-y{)}^2}{2t}=\frac{1+t}{2t}{(y-\frac{x}{1+t})}^2+\frac{x^2}{2(1+t)}.$$ 第一项非负，且只有 $y_{\ast }=x/(1+t)$ 时为零。因此 $$S(x,t)=\frac{x^2}{2(1+t)}.$$ 求导检查：$S_t=-x^2/[2(1+t{)}^2]$，$S_x=x/(1+t)$，两项在方程中正好抵消，并且 $S(x,0)=x^2/2$。

以 $x=2,t=1$ 为例，最优起点是 $y_{\ast }=1$，初始费用 $1/2$，运动费用 $1/2$，总费用为 $1$。如果从原点出发，虽然初始费用为零，运动费用却为 $2$；从终点 $2$ 原地不动，则初始费用已经是 $2$。最优选择在两者之间。

x=2、t=1 时，初始费用 y²/2 与运动费用 (2−y)²/2 相加，得到 (y−1)²+1。最低总费用为 1。

读者也可将终点改为 $x=3$、总时间改为 $t=2$：起点仍为 $1$，运动速度为 $1$，初始费用为 $1/2$，两单位时间的运动费用为 $1$，总费用为 $3/2$。它与通式 $9/[2(1+2)]$ 一致。

特征线与力学

在解足够光滑时，可沿特征线把方程化为常微分方程。令 $p=\mathrm{\nabla }S$，沿路径取 $$\dot{x}=H_p,\dot{p}=-H_x,\dot{S}=p\cdot H_p-H.$$ 前两式是哈密顿方程。第三式来自链式法则：$\mathrm{d}S/\mathrm{d}t=S_t+\mathrm{\nabla }S\cdot \dot{x}=-H+p\cdot H_p$。对空间偏导后的原方程使用同一条路径，可得第二式；推导要求相应偏导存在。

对 $H=p^2/2$ 和刚才的 $g(\xi )={\xi }^2/2$，初始动量为 $p(0)=g^{\prime }(\xi )=\xi$。因 $H_x=0$，动量恒为 $\xi$，从而 $$x=(1+t)\xi ,S=\frac{{\xi }^2}{2}+t\frac{{\xi }^2}{2}=\frac{1+t}{2}{\xi }^2.$$ 消去 $\xi =x/(1+t)$，再次得到同一解。这次计算还表明：最小化公式所选的起点，就是到达该点的特征线起点。

在经典力学中，$H(x,p)=|p{|}^2/(2m)+V(x)$，其中 $m>0$ 为质量，$V$ 为势能。特征方程成为 $\dot{x}=p/m$、$\dot{p}=-\mathrm{\nabla }V$，合并就是牛顿第二定律。若令 $S=W(x)-Et$，则得到定态关系 $$\frac{|\mathrm{\nabla }W{|}^2}{2m}+V(x)=E.$$ 在 $E\ge V$ 的区域，这可写成 $|\mathrm{\nabla }W|=\sqrt{2m(E-V)}$，与艾科纳尔方程具有相近的梯度结构。Hamilton–Jacobi 方法在作用量与经典动力学中的解释可参见 Tong 的讲义。

尖点初值与解的选择

取初始费用 $g(y)=|y|$。它在原点有尖点，但全空间 Lipschitz 连续。先设 $x\ge 0$。对于 $y\ge 0$，目标函数的导数为 $1+(y-x)/t$，最小点是 $y=x-t$，条件是 $x\ge t$；若 $0\le x<t$，最小点只能位于边界 $y=0$。对于 $y\le 0$，导数为 $-1+(y-x)/t<0$，这一半区间的最低点仍是 $0$。再用对称性，得到 $$y_{\ast }=\mathrm{sgn}(x)max\{|x|-t,0\},S(x,t)=\{\begin{array}{cc}\frac{x^2}{2t},& |x|\le t,\\ |x|-\frac{t}{2},& |x|\ge t.\end{array}$$ 当 $t>0$ 时，两段在 $x=\pm t$ 处的函数值、一阶空间导数和时间导数都相接。中心尖点被一个抛物线区域替代，二阶导数在拼接处改变。

初值为绝对值函数。实线为 t=1 的解，点线为 t=0.5 的解；虚线是把初值整体下移 1/2 的候选函数，在原点过低，不能由最小费用公式得到。

只要求在光滑点满足方程，会留下错误候选。例如 $V(x,t)=|x|-t/2$ 具有同一初值，且在 $x\ne 0$ 处有 $V_t+(V_x{)}^2/2=0$。但在原点它无法描述任何正确的最小费用。排除这种错误，需要在尖点也有意义的解概念。

黏性解的接触检验

连续函数 $S$ 是黏性次解，指任意光滑函数 $\phi$ 从上方接触 $S$ 的内部点都满足 ${\phi }_t+H(\mathrm{\nabla }\phi )\le 0$；是黏性超解，指从下方接触时满足相反不等式。二者兼具并满足初值，才称为黏性解。“接触”指局部相等且函数差具有局部极值，并不要求严格极值。这个定义把不能直接求导的位置交给光滑测试函数检验。

对错误候选，在任意 $t_0>0$，函数 $\phi (x,t)=-t/2$ 从下方接触 $V$ 于 $(0,t_0)$。但 $${\phi }_t+\frac{1}{2}({\phi }_x{)}^2=-\frac{1}{2}<0,$$ 违反超解应满足的非负条件。因此它不是黏性解，即使它在除尖点外的所有地方都满足方程。黏性解也可由加入小扩散项的方程 $S_t+H(\mathrm{\nabla }S)=\epsilon \Delta S$ 在适当假设下取 $\epsilon \downarrow 0$ 得到；名称中的“黏性”由此而来，并不表示原问题必然含有物理黏性。

适用范围

光滑特征线可以相交，初始数据也可以本来就不光滑，所以全局求解不能始终依靠经典偏导数。凸性、初值的增长条件、边界条件和所选解的类别共同决定变分公式及唯一性结论。二次费用的 Hopf–Lax 公式不能原样套给非凸哈密顿量；带障碍、状态约束或有限区域的最优控制，还要规定哪些路径允许经过。对于到达时间而非固定终止时间的路径费用，常出现相应的定态艾科纳尔方程。