泊松积分公式

泊松积分公式（Poisson integral formula）由圆周上的边界值求出圆盘内部的调和函数。内部值是边界值的加权平均，权重随内部点的位置变化；越靠近某段边界，相邻边界值的权重越集中。

设实值连续函数 $g(\theta )$ 为单位圆周上的数据，按周期 $2\pi$ 理解。本文采用不含 $1/(2\pi )$ 的核约定： $$P_r(t)=\frac{1-r^2}{1-2r\cos t+r^2},0\le r<1.$$ 则内部点 $z=r{e}^{i\varphi }$ 的解为 $$u(r{e}^{i\varphi })=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{P}_r(\varphi -\theta )g(\theta )d\theta .$$ 有些文献把外面的常数吸收到核里，核的总积分便是一；核与外部常数须配套，不能多除或少除一次。

正权重与归一化

分母是 $|1-r{e}^{it}{|}^2$，当 $r<1$ 时严格为正，分子也为正。由几何级数可得 $$P_r(t)=1+2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{r}^n\cos (nt).$$ 对每个固定 $r<1$，级数绝对且一致收敛，逐项积分后所有非零频率余弦的完整周期积分为零，所以核的积分为 $2\pi$。配上前面的常数，权重总和为一，常数边界值因此保持不变。

对 $r\le r_0<1$ 的紧子圆盘，求任意固定阶导数后出现的多项式次数因子仍受几何衰减控制，导数级数一致收敛。每项 $r^n\cos (n\varphi )$、$r^n\sin (n\varphi )$ 都是全纯单项式实部或虚部，均调和。因此公式定义的 $u$ 在内部调和。

横轴是内部点与边界点的角度差。峰高改变，归一化总权重仍相同；核并非固定宽度的平滑窗口。

边界值如何被恢复

固定边界角 $\varphi$，把积分与 $g(\varphi )$ 相减。由于核总权重一，差等于对 $g(\theta )-g(\varphi )$ 的加权平均。连续圆周函数一致连续，所以当角差小于某个 $\delta$ 时，这个差的绝对值可以统一小于任意给定误差。

在角差至少 $\delta$ 的其余部分，当 $r\to 1$，分母保持严格正的统一下界，分子 $1-r^2$ 趋零，因此这一远处区域的核统一趋零。把近处的“小函数差”和远处的“小核”合起来，得到 $u(r{e}^{i\varphi })\to g(\varphi )$，并且对角度一致。这也提供连续到闭圆盘的延拓。

若另一个连续到边界的调和函数有相同数据，二者之差边界为零；调和函数最大、最小值原理使差在内部也为零，故解唯一。这里的连续边界前提给出逐点恢复；不连续数据需要按其正则性另外说明极限方式。

两个谐波的完整计算

取边界值 $$g(\theta )=2+\cos \theta +2\sin (2\theta ).$$ 余弦、正弦的周期正交性使核积分逐个选出对应项，得到 $$u(r{e}^{i\varphi })=2+r\cos \varphi +2r^2\sin (2\varphi ).$$ 又 $x=r\cos \varphi$、$y=r\sin \varphi$，所以 $$u(x,y)=2+x+4xy.$$ 其二阶偏导之和为零；在单位圆上代回，$4xy=2\sin (2\theta )$，确实恢复原边界。内部点 $(0.3,0.4)$ 的值为 $2+0.3+0.48=2.78$。

变式。 若边界数据是 $3-2\cos (3\theta )$，解为 $$u(x,y)=3-2x^3+6x{y}^2.$$ 这是 $3-2\mathrm{\Re }(z^3)$，所以调和；在 $(1/2,0)$，值为 $11/4=2.75$。每个第 $n$ 次边界谐波在半径 $r$ 处带上 $r^n$，高频变化向中心传播时衰减更快。

与柯西积分公式的区别

泊松公式允许一般连续实值边界数据，恢复的是实调和函数。柯西积分公式恢复全纯复函数，并要求相应的复边界值与全纯性相容；任意指定实部与虚部通常不能同时形成一个全纯解。圆盘以外区域也可能有泊松核，但核随区域几何和边界条件变化，不应原样套用这个单位圆公式。

参考文献

Jiří Lebl，Guide to Cultivating Complex Analysis，1.9，2026-07-11，§7.2.1（圆盘Dirichlet问题、泊松核正性归一化与边界逼近）。