洛必达法则

洛必达法则（L’Hôpital’s rule）在满足条件时，用导数之比求分式的极限。先以有限点右极限的 $0/0$ 型为例：若 $f(x),g(x)\to 0$（$x\to a^{+}$），它们在某个右侧邻域可导，且 $g^{\prime }(x)\ne 0$；若 $f^{\prime }(x)/g^{\prime }(x)\to L$，其中 $L$ 可以是有限数或带符号无穷，则 $f(x)/g(x)\to L$。左极限、无穷远和 $\mathrm{\infty }/\mathrm{\infty }$ 型有相应版本，使用前仍须核对各自条件。

比值来自哪一个中间点

把 $f(a)=g(a)=0$ 作为连续延拓。对 $[a,x]$ 应用柯西中值定理，在 $a<c<x$ 有 $$f(x)g^{\prime }(c)=g(x)f^{\prime }(c).$$ 由于 $g^{\prime }$ 在区间内不为零，由中值定理也可知 $g(x)-g(a)\ne 0$。因此 $f(x)/g(x)=f^{\prime }(c)/g^{\prime }(c)$。当 $x\to a^{+}$ 时，中间点 $c$ 也趋于 $a$，导数比的极限便传给原分式。这一论证解释了为什么必须检查导数比的极限，而不是只做一次形式上的“上下同时求导”。

算例与边界

对 $\underset{x\to 0}{lim}(e^x-1-x)/x^2$，第一次导数比为 $(e^x-1)/(2x)$，仍是 $0/0$；再次使用得到 $e^x/2\to 1/2$。独立核对可用 $e^x=1+x+x^2/2+o(x^2)$。若把 $(x^2+1)/x$ 在 $x\to 0$ 的分子“求导”成 $2x$，会丢掉并未趋零的常数 1；原式左右分别趋于不同符号的无穷，不满足 $0/0$ 前提。

无穷比无穷的一个正常例子是 $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(\log x)/x$。分子、分母都趋正无穷，导数比分别是 $(1/x)/1=1/x\to 0$，因此原比值趋零。也可以不使用法则：对足够大的 $x$，对数增长慢于任意正幂；两种论证得出同一增长比较。

还有一类容易被误判的情形：$f(x)=x+\sin x$、$g(x)=x$，当 $x\to \mathrm{\infty }$，两者都趋于无穷，原比值 $1+\sin x/x\to 1$；但导数比 $1+\cos x$ 没有极限。洛必达法则的充分条件不满足，不代表原极限不存在。优先使用直接整理，只有问题确实变成允许的未定型时再用本法则。

参考资料

• OpenStax《Calculus Volume 1》§4.8：适用形式与计算。
• 同书 §4.4：中值定理的条件。