柯西中值定理

柯西中值定理（Cauchy mean value theorem）同时比较两个函数的区间变化。设 $f,g$ 在 $[a,b]$ 连续、在 $(a,b)$ 可导，$a<b$，则存在 $c\in (a,b)$ 使 $$[f(b)-f(a)]g^{\prime }(c)=[g(b)-g(a)]f^{\prime }(c).$$ 交叉相乘的形式始终有效；只有另知 $g(b)\ne g(a)$ 且所选位置 $g^{\prime }(c)\ne 0$，才可以写成两个变化率之比。

构造端点等高的函数

令 $F=f(b)-f(a)$、$G=g(b)-g(a)$，取 $h(x)=Gf(x)-Fg(x)$。计算两端之差为 $h(b)-h(a)=GF-FG=0$。由罗尔定理，内部某处 $h^{\prime }(c)=G{f}^{\prime }(c)-F{g}^{\prime }(c)=0$，恰是定理等式。当 $g(x)=x$ 时，$G=b-a$ 且 $g^{\prime }=1$，它退化为拉格朗日中值定理。

取 $f(x)=x^2$、$g(x)=x^3$、区间 $[1,2]$。两函数的总变化分别是 3 和 7，等式变成 $3\cdot 3c^2=7\cdot 2c$；内部解是 $c=14/9$。代回可得 $f^{\prime }(c)/g^{\prime }(c)=3/7$，正是区间总变化之比。若只在起点或终点比较瞬时比值，就得不到这个一般结论。

比值的前提值得单独检查。取 $f(x)=x$、$g(x)=x^2$、区间 $[-1,1]$，则 $F=2$、$G=0$。交叉乘积式要求 $2g^{\prime }(c)=0$，确由 $c=0$ 满足；但此时 $g^{\prime }(c)=0$，而且 $g(b)-g(a)=0$，两个比值都不能写。这不是定理失效，而是它本来就没有承诺可除形式。

洛必达法则中的 $0/0$ 证明用的正是这一定理：把靠近极限点的一个小区间当作 $[a,b]$，再比较函数值比和导数比。这里的条件不能省成“两个函数都可导”一句话；端点连续、内点可导以及分母是否可除都各有用途。

参考资料

• OpenStax《Calculus Volume 1》§4.8：柯西型中值论证与洛必达法则。
• 同书 §4.4：罗尔与拉格朗日中值定理。