洛朗级数

洛朗级数（Laurent series）是在某个中心附近同时允许正、负整数次幂的复函数级数。它适合描述孔洞附近的全纯函数；负次幂记录靠近孔洞时可能出现的奇异行为。一个函数的洛朗展开必须连同适用环域一起给出。

取 $f(z)=1/[z(z-2)]$。原点和二都是奇点。围绕原点展开时，$0<|z|<2$ 与 $|z|>2$ 是两个不同的环域，不能用同一列系数同时覆盖。

环域与系数

若 $f$ 在环域 $A=\{z:r<|z-a|<R\}$ 内全纯，则有唯一展开 $$f(z)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_n(z-a{)}^n.$$ 这里 $0\le r<R\le \mathrm{\infty }$，级数在每个闭子环域上一致收敛。“双向求和”指负次幂部分和非负次幂部分分别收敛后相加，不是任意重排数项。对任何 $r<\rho <R$， $$c_n=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{|\zeta -a|=\rho }\frac{f(\zeta )}{(\zeta -a{)}^{n+1}}d\zeta .$$ 路径取逆时针。系数不依赖这个环域内选取的 $\rho$；一旦跨过奇点进入另一个环域，这个结论便不能直接沿用。

负次幂从内边界产生

固定环域中的一点 $z$，取两个半径 $r<{\rho }_{-}<|z-a|<{\rho }_{+}<R$。圆环上的柯西公式给出外圆积分减内圆积分。外圆的核展开为 $$\frac{1}{\zeta -z}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(z-a{)}^k}{(\zeta -a{)}^{k+1}}.$$ 外圆上 $|z-a|<{\rho }_{+}$ 保证这个比值的模小于一。 内圆上则把较大的 $z-a$ 提出： $$\frac{1}{\zeta -z}=-\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\zeta -a{)}^k}{(z-a{)}^{k+1}}.$$ 内圆上 ${\rho }_{-}<|z-a|$ 保证另一种几何展开收敛。 两个几何级数在各自积分圆周上一致收敛，可以逐项积分。外圆产生非负次幂，减去内圆后产生负次幂；由此得到系数公式及展开。若有另一套系数，把级数乘以 $(z-a{)}^{-m-1}$ 后沿圆积分，只有第 $m$ 项保留下来，因此系数唯一。

同一个有理函数的两种展开

先作部分分式： $$\frac{1}{z(z-2)}=-\frac{1}{2z}+\frac{1}{2(z-2)}.$$ 在 $0<|z|<2$ 内，第二项可用 $z/2$ 作几何比值，所以 $$f(z)=-\frac{1}{2z}-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{2^{n+2}}.$$ 负一次幂系数为 $-1/2$，常数项为 $-1/4$。在 $z=1$，级数给出 $-1/2-\sum _{n\ge 0}{2}^{-n-2}=-1$，与原式一致。

当 $|z|>2$ 时，改把 $2/z$ 作为比值： $$f(z)=\frac{1}{z^2}\frac{1}{1-2/z}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^n{z}^{-n-2}.$$ 现在没有负一次幂项，只有 $z^{-2},z^{-3},\dots$。例如在 $z=4$，其和为 $(1/16)/(1-1/2)=1/8$，再次等于原式。

半径2的圆经过奇点，隔开两种洛朗展开。两个合法圆不能在避开全部奇点的条件下互相变形。

截断误差与奇点

若在内环域只保留非负幂的前 $N+1$ 项，遗漏项的模可估计为 $$\begin{array}{cc}{E}_N(z)& =\sum _{n=N+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{2^{n+2}},\\ |E_N(z)|& \le \frac{1}{4}\frac{(|z|/2{)}^{N+1}}{1-|z|/2}.\end{array}$$ 在 $z=1$ 取 $N=2$，误差为 $1/16$，此时各项同号，估计恰取等号。越靠近 $|z|=2$，相同项数的控制越差。

变式。 将另一奇点从二移到三，即改为 $1/[z(z-3)]$。在 $0<|z|<3$，展开为 $$-\frac{1}{3z}-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{3^{n+2}}.$$ 在 $|z|>3$，则为 $\sum _{n\ge 0}{3}^n{z}^{-n-2}$。检验展开时，既要核对首项，也要核对几何比值的模小于一。

当内半径为零时，负次幂部分称主部。主部为空、有限非零或无限，分别对应可去奇点、极点和本性奇点；当内半径大于零时，不应只凭该环域的负次幂就给中心点分类，因为函数未必在整个去心圆盘内全纯。

参考文献

Jiří Lebl，Guide to Cultivating Complex Analysis，1.9，2026-07-11，§4.4（环域、洛朗展开与系数唯一性）。