海盗分金
海盗分金是一个轮流提案、投票和淘汰的有限博弈。它没有脱离规则的统一答案：币数、通过门槛、同票时的偏好与发言顺序一变，分配都可能改变。这里明确选定一套规则，用十枚不可分金币和五人展示逆向归纳。
五名海盗按提案资格从高到低记为 A、B、C、D、E。当前资格最高者提出十枚金币的整数分配，自己也投票；赞成票必须严格多于当前人数的一半才通过。例如五人时至少三票、四人时至少三票、三人时至少两票、两人时两票都要赞成。提案未通过，提案者退出，下一人重新分配全部十枚。所有人都知道规则，并按以下顺序比较结局：先看自己能否留下；都能留下时，金币越多越好；如果两者完全相同，投反对票。这个最后的平局规则在两人阶段会起作用。
从一人到五人
只余 E 时，他独得十枚。只余 D、E 时，D 的提案须两票；E 拒绝后仍能留下并独得十枚，因此 D 最多给 E 十枚也不能令其赞成——金币相同，E 按平局规则投反对票。D 的提案必败，最后仍是 E 得十枚。
只余 C、D、E 时，C 需要两票。若提案被拒，接下来进入上述两人阶段，D 必退出。因此 D 为了留下，即使分到零枚也会赞成 C。C 可提（C,D,E）＝（10,0,0），自己和 D 两票通过。
只余 B、C、D、E 时，B 需要三票。若 B 失败，下轮 C 的已知方案是（10,0,0），所以 C 预期十枚，D、E 都预期零枚。B 无法用十枚金币买到 C 的赞成票，却可各给 D、E 一枚，让两人比下轮多得一枚。于是（B,C,D,E）＝（8,0,1,1）以 B、D、E 三票通过。
五人都在时，A 需要三票。若失败，B 的方案使（B,C,D,E）各得（8,0,1,1）。A 自己有一票；最便宜的另一票来自 C，给一枚就比下轮的零枚好。第三票可从 D、E 中选一人，给两枚便比下轮的一枚好。因此一个通过方案是 A、C、D 赞成，提案通过。把两枚给 E 而不给 D，会得到对称的另一方案；所以最终分配不唯一，但在这套规则下 A 可保留七枚。
| 当前人数 | 提案者 | 通过所需票数 | 逆向归纳结果 |
|---|---|---|---|
| 1 | E | 1 | E 得 10 |
| 2 | D | 2 | D 无法通过，E 得 10 |
| 3 | C | 2 | C、D、E 得（10,0,0） |
| 4 | B | 3 | B、C、D、E 得（8,0,1,1） |
| 5 | A | 3 | A、B、C、D、E 可得（7,0,1,2,0） |
规则一改，哪一步先失效
若改成“至少一半票即通过”，两人阶段 D 靠自己的一票便可通过（10,0），后续各阶段的拒绝基线都变了，不能再引用上面的五人答案。若 E 在同样金币下改为支持提案，两人阶段 D 也可能把十枚全给 E 来换票，结果再次变化。计算海盗分金的可靠方法不是背住“七枚”，而是先列完整规则，再从最后一个有选择的人倒推每人的拒绝所得和赞成所需的最低报价。
蜈蚣博弈同样用逆向归纳，但那里的分支是“拿走或继续”，本页的分支还涉及多数票与不同参与者的拒绝所得。两者共用的是从未来子博弈的已知结果回到当前节点的推理。
参考资料
- Osborne 与 Rubinstein：《A Course in Game Theory》作者书目页，扩展式博弈、完整策略与逆向归纳的一般理论。
- MIT OpenCourseWare：逆向归纳讲义，说明从有限博弈的末端节点回推；本页十枚金币的收益与投票规则由本站单独设定。