特征向量中心性

特征向量中心性（eigenvector centrality）使一个顶点的得分正比于其邻居得分之和。它区别于只数邻居个数的度：连接到高分邻居，能够获得更大的反馈。本文先讨论有限、连通、至少两个顶点的无向简单图，在这一条件下有唯一的正得分比例。

三叶星由一个中心和三个叶子组成。若中心得分为 $a$、叶子共同得分为 $b$，则比例条件要求 $\lambda a=3b$、$\lambda b=a$。消去 $a$ 得 ${\lambda }^2=3$，取正值得 $\lambda =\sqrt{3}$、$a=\sqrt{3}b$。中心的得分比叶子高，但不是度数的三倍。

图中固定中心为一，仅选择了比例尺度；整体乘以同一正数不改变排序。

邻接矩阵的正特征向量

设邻接矩阵为实对称非负矩阵 $A$。中心性向量 $x$ 满足 $$Ax={\lambda }_{max}x,x_i>0,\sum _i{x}_i^2=1,$$ 其中 ${\lambda }_{max}$ 是 $A$ 的最大特征值。最后一个归一化只固定尺度；也可用和为一或最大值为一，但数字会不同。非负边权可以作为联系强度推广定义，其正权支持图仍需连通。

下面证明无向连通情形的存在、正性和唯一性。由实对称矩阵谱定理，单位球上的最大 Rayleigh 商 $z^{𝖳}Az$ 等于最大特征值，最大化向量是相应特征向量。将 $z$ 逐项取绝对值得到 $|z|$，长度不变，且因 $A_{ij}\ge 0$，其二次型不减。因此可取非负的最大化向量 $x$。

图中至少有一条边，使某个单位向量的二次型为正，所以 ${\lambda }_{max}>0$。若 $x_i=0$，特征方程在该行变为 $0=\sum _{j\sim i}{x}_j$，非负项逐个为零。沿连通路径传播会使所有分量为零，与单位长度矛盾，故全部严格为正。

若另一个正向量 $y$ 属于同一特征值，取 $t=\underset{i}{min}{x}_i/y_i$，则 $w=x-ty\ge 0$ 且至少有一项为零，也满足 $Aw={\lambda }_{max}w$。同样传播迫使 $w=0$，因此两者成比例，归一化后唯一。任意其他正特征向量与 $x$ 内积为正，而实对称矩阵不同特征值的向量正交，所以它也只能属于这个特征值。这给出了选择最大特征值而非任意特征值的理由。

星图若按单位欧氏长度归一化，$a^2+3b^2=1$ 与 $a^2=3b^2$ 给出 $a=1/\sqrt{2}$、$b=1/\sqrt{6}$。变式： 四叶星的比例为 $a=2b$，单位长度下仍有 $a=1/\sqrt{2}$，每叶为 $1/\sqrt{8}$。叶子增多时，归一化分配到单个叶子的得分下降。

不连通与迭代的边界

把一个三角形与一条独立边放在同一图中。两分量的最大特征值分别为二和一，整个图的最大特征值为二；对应非负向量在三角形上为正，在那条边上只能为零。因此不连通网络中的零得分不代表该顶点没有邻居。两个独立三角形的最大特征值相同，对两个分量任意非负比例分配都可得到最大特征向量，失去唯一排序。

连通也不保证朴素反复乘 $A$ 的迭代收敛。只有一条边时，矩阵将 $(1,2)$ 变为 $(2,1)$，再变回来，归一化后仍周期振荡；其正负两个特征值绝对值相同。加单位阵后再迭代可消除这一特定二分图周期，但数值实现仍需检查误差与停止条件。

有向图需要说明累计前驱还是后继得分；若 $A_{ij}$ 表示 $i\to j$，累计进入顶点的得分用左特征向量或等价的 $A^{𝖳}x=\lambda x$。负联系权重则不能沿用本篇非负项传播证明。该指标描述邻接反馈，不自动代表实际影响传播的因果强度。