瓦瑟斯坦距离

瓦瑟斯坦距离比较两个概率分布时，不仅考虑概率质量相差多少，还考虑把质量从一个位置移动到另一个位置所需的代价。它常用于最优运输：想象把一种分布看成物资的供给位置，另一种看成需求位置；不同运输安排都必须满足给定的供给与需求。

耦合与运输成本

在带距离 $d$ 的度量空间上，给定概率测度 $\mu ,\nu$。一个耦合 $\pi$ 是空间乘积上的概率测度，使其第一、第二边缘分布分别为 $\mu ,\nu$。所有这样的耦合构成集合 $\Pi (\mu ,\nu )$。对 $p\ge 1$，定义 $$W_p(\mu ,\nu )={(\underset{\pi \in \Pi (\mu ,\nu )}{inf}\int d(x,y{)}^{p}d\pi (x,y))}^{1/p}.$$ 当空间为波兰空间并选定参考点 $x_0$，如果两分布的 $p$ 阶距离矩均有限，即 $\int d(x,x_0{)}^{p}d\mu (x)<\mathrm{\infty }$、$\int d(y,x_0{)}^{p}d\nu (y)<\mathrm{\infty }$，则上式有限，并在这些测度的集合上构成距离。更一般的定义可能给出无穷值。

一次能证明最优的运输

在实数轴上，令 $\mu =\frac{1}{2}{\delta }_0+\frac{1}{2}{\delta }_2$，$\nu =\frac{1}{2}{\delta }_1+\frac{1}{2}{\delta }_3$，其中 ${\delta }_a$ 把全部质量放在点 $a$。把零处的一半质量送到一，把二处的一半质量送到三，是合法耦合，总距离成本为 $$\frac{1}{2}|0-1|+\frac{1}{2}|2-3|=1.$$ 故 $W_1\le 1$。另一方面，对任意耦合 $(X,Y)$，三角不等式给出 $$𝔼|X-Y|\ge |𝔼[X-Y]|=|1-2|=1.$$ 下界与所给方案达到的成本相同，所以 $W_1=1$。这一步证明了最优，而不是只给出一个可能的运输方案。

本例的两个运输箭头。每次运输距离为一，合计成本为一。

如果把两分布之间的所有概率质量都独立配对，也得到一种耦合，但平均距离为 $(1+3+1+1)/4=3/2$，比一更大。求最小值时不能直接把独立耦合当成最优。

与其他距离的区别

两个点质量 ${\delta }_0$ 和 ${\delta }_{ϵ}$（$ϵ>0$）的全变差距离为一，因为集合 $\{0\}$ 能完全区分二者；但 $W_1({\delta }_0,{\delta }_{ϵ})=ϵ$。前者衡量集合概率的最大差异，后者使用空间距离，因此 $ϵ\to 0$ 时所得结论不同。

一维分布常可用分位数计算：若 $U$ 在 $(0,1)$ 上均匀，取广义分位数 $F_{\mu }^{-1}(U),F_{\nu }^{-1}(U)$，此共同分位数耦合在适当矩条件下达到 $W_p$ 的最小值。它是特定的一维结论；更高维的最优运输通常不能由逐坐标排序代替。

当极小值可以达到时，相应耦合称为最优耦合；定义里的下确界本身不要求事先知道最优方案。估计数据的瓦瑟斯坦距离时，样本量、距离单位及高维计算代价都会影响结果，距离数值也必须结合实际度量的单位解释。