生存分析与删失数据

生存分析研究事件发生之前的等待时间；事件可以是设备失效、住院结束或某种治疗结局。右删失指观察结束时尚未见到事件，只知道事件时间晚于已观察时长。一个运行到第七个月仍未坏的设备不是“寿命等于七个月”，也不能当作第七个月失效。

五台设备的观察记录

假设从同一时点观察五台设备，分别记录：第 2 月失效，第 3 月退出观察，第 4 月失效，第 6 月失效，第 7 月仍正常而结束观察。退出和期末仍正常都记为右删失。每台设备必须保留随访时长和事件指示两项，而不是只有一个时间列。

在第 2 月前五台均在风险集中，一台失效，条件存活比例 $1-1/5=4/5$。第 3 月一台删失，只是从此后风险集中移除，存活曲线不下降。到第 4 月，风险集为三台，一台失效，新的条件比例是 $1-1/3=2/3$，累计存活比例为 $(4/5)(2/3)=8/15$。到第 6 月，剩两台在风险集中，一台失效，比例再乘 $1/2$，得到 $4/15$；第 7 月的删失仍不产生下降。

删失提供“至少存活到这里”的信息，不能被计为失效。

乘积极限估计的来由

令 $T$ 为真实事件时间，生存函数是 $S(t)=Pr(T>t)$。在每个不同的事件时点 $t_j$ 前，设风险集人数为 $n_j$、恰在该时点发生事件的有 $d_j$。由于“存活过全部时点”可以逐段分解成各段条件存活的乘积，Kaplan–Meier 估计为 $$\hat{S}(t)=\prod _{t_j\le t}(1-\frac{d_j}{n_j}).$$ 它是一条阶梯曲线。删失时只更新此后的 $n_j$，不在乘积中增加一项 $1-1/n_j$。上例的中位生存时间估计是首次使 $\hat{S}(t)\le 1/2$ 的时点，即第 6 月；若随访结束前曲线始终高于二分之一，就应报告“中位数未达到”，不能外推一个数。

第 3 月删失并未透露该设备之后何时坏。上述估计依赖删失在适当条件下不携带额外的失效风险信息：若更容易故障的设备往往提前退组，剩下的风险集会过于健康，曲线可能偏高。可以按已知风险因素分层或建模，但未记录的退组原因无法由公式消除。竞争事件也须分清，例如研究某一特定故障时，另一种故障使该事件不可能再发生，直接当普通右删失会改变所估计的量。

与回归和模型验证的关系

两组曲线比较应对齐入组时间、事件定义和删失规则，同时给出各时点风险集人数；远尾仅剩一两台设备时曲线非常不稳定。研究协变量与瞬时事件率，可使用风险函数及合适的回归模型；比例风险模型还需检查风险比近似恒定的假设。若任务是预测“未来三个月是否失效”，评估也要考虑训练或验证窗口尚未观察满三个月的样本，不能把这些未知结局统一贴成零。

参考资料与相关词条

• Penn State STAT 509：事件时间、右删失和独立删失假设。
• Penn State STAT 507：Kaplan–Meier 曲线与风险集。
• 相关：条件概率、概率分布、缺失数据机制与选择偏差、统计推断。