电池荷电状态与等效电路

荷电状态（state of charge，SOC）表示电池还剩多少可用电荷容量，常以零到一的比例记作 $z$ 。它不是电池端电压的另一种名称，也不是剩余能量百分比的精确同义词：放电电压会随电流、温度和状态变化，因而同样多的电荷未必对应同样多的能量。建模时应先约定电流的正方向、容量单位和所指的电池化学体系。

从电流得到荷电状态

约定放电电流 $I (t) > 0$ ，把有效容量 $Q_{e f f}$ 用库仑表示。在理想库仑计数近似下， $d t$ 秒流出的电荷为 $I (t) d t$ 库仑，故 $\frac{d z}{d t} = - \frac{I (t)}{Q_{e f f}}, z (t) = z (0) - \frac{1}{Q_{e f f}} \int_{0}^{t} I (u) d u .$ 若容量为 $2 A h = 7200 C$ ，初始 $z (0) = 0.80$ ，以 $1 A$ 放电半小时，即流出 $1 A \times 1800 s = 1800 C$ ，则 $z = 0.80 - 1800 / 7200 = 0.55$ 。这一步只对电荷守恒作账，没有声称端电压或可供电时间也按同一比例变化。

采样间隔为 $Δ t$ 秒时，可写成 $z_{k + 1} = z_{k} - I_{k} Δ t / Q_{e f f}$ 。充电效率、温度、老化会改变这个简单关系；有效容量不等于新电池包装上永远不变的标称容量。电流传感器的零点偏移若每时刻都是同号，会在积分中持续累积误差，所以仅靠库仑计数不能长期免校准。

若理想模型设最低允许 $z_{min} = 0.10$ ，现在 $z = 0.55$ ，以后始终以 $1 A$ 放电，则按电荷账本尚有 $(0.55 - 0.10) \times 2 A h / 1 A = 0.9 h$ ，即五十四分钟。实际设备还会在端电压低于阈值、温度过高或瞬时功率不足时提前停止；这五十四分钟只是固定电流、固定有效容量并仅以 SOC 下限为停止条件的条件计算。

端电压的最简等效电路

把电池近似成开路电压 $U_{o c} (z)$ 与串联内阻 $R_{0}$ ，放电时端电压 $V = U_{o c} (z) - I R_{0} .$ 在某一瞬间若查得 $U_{o c} = 3.7 V$ 、 $R_{0} = 0.1 Ω$ 、 $I = 1 A$ ，则 $V = 3.6 V$ ，输出功率 $V I = 3.6 W$ ，理想电阻的热损耗 $I^{2} R_{0} = 0.1 W$ 。这组数是示例条件；不可把 $3.7$ 伏当成全部荷电状态下的固定开路电压。

开路电压Uoc经过串联内阻R0到达负载端，放电电流I方向由电池流向负载，端电压V小于开路电压 — 串联内阻使放电端电压低于开路电压，差值随电流变化。

脉冲电流突然加大时，测得的电压常有快、慢两个变化尺度。可增添一个极化电压状态 $v_{1}$ ，用一组 $R_{1} C_{1}$ 元件表示： $\frac{d v_{1}}{d t} = - \frac{v_{1}}{R_{1} C_{1}} + \frac{I}{C_{1}}, V = U_{o c} (z) - I R_{0} - v_{1} .$ 其中 $R_{1} C_{1}$ 的单位是秒。若 $I$ 从零跳到常数 $I_{0}$ ，初始 $v_{1} (0) = 0$ ，求解一阶方程得到 $v_{1} (t) = I_{0} R_{1} (1 - e^{- t / (R_{1} C_{1})})$ ：一开始只有 $I R_{0}$ 的瞬时压降，此后极化压降逐渐建立。停止放电后 $I = 0$ ， $v_{1}$ 指数衰减，端电压回升。这解释了为什么不能只看一次负载下的电压就反推出唯一 SOC。

剩余能量还要把电压沿放电过程积分，不能简单把 SOC 乘以某一时刻的端电压。在给定负载条件下，从现在到停止时刻 $t_{*}$ 送到负载的电能为 $E_{o u t} = \int_{0}^{t_{*}} V (t) I (t) d t$ ，单位焦耳；除以 $3600$ 才换成瓦时。若 $V$ 在半小时内始终恰为 $3.6 V$ 、 $I = 1 A$ ，这半小时才可写成 $3.6 \times 1 \times 0.5 = 1.8 W h$ 。电压会变时要按实测或模型曲线累加。

参数辨识与可用范围

开路电压曲线应由足够静置后的测量建立；内阻和 $R_{1}, C_{1}$ 可结合不同 SOC、温度下的电流脉冲与电压响应拟合。若只测一个稳态电压， $R_{1}$ 与 $C_{1}$ 的时间常数便可能不可分别识别。要估计手机续航或储能计划，还需记录负载功率随时间变化、转换效率、低压截止条件和热限制，并用没有参加拟合的放电曲线比较端电压误差与截止时间误差。

等效电路是一定频率和工作范围内的工程近似；低温、高倍率、老化严重或电池保护板动作时，参数与电路拓扑可能不足以描述实际行为。模型应报告容量取值、充放电电流符号、采样频率和适用温度，而不是只给一条平滑的 SOC 曲线。

参考资料与相关词条