测量误差与误差传播

计算结果常常来自多个测量值。若矩形的两边各有一点误差，面积会偏离多少？回答前先分清三件事：仪器读数与被测量之间的误差、对误差大小的不确定度评估，以及把输入的不确定度传给计算结果的传播模型。只报一个带很多小数位的计算结果，并不能表明测量精确。

随机波动与系统偏差

设真正的长度为 $x$，第 $i$ 次读数可写为 $X_i=x+b+{\epsilon }_i$。$b$ 表示校准偏差、零点偏移等系统性成分，${\epsilon }_i$ 表示围绕平均值的随机波动。若这些随机成分独立、均值为零且标准差为 $\sigma$，$n$ 次读数平均值的随机标准差降为 $\sigma /\sqrt{n}$；但平均值仍含 $b$。重复测量不能靠平均消除同一把尺子的刻度偏差。

测量报告中的标准不确定度通常以估计标准差表述，不等同于“真值必落在读数 ± 一个标准差内”。若误差分布、校准来源或置信水平不明确，不应把一个 $\pm$ 数字直接解释成硬边界。

一阶传播公式的来由

设结果 $Y=f(X_1,\dots ,X_p)$，输入均值附近为 $\mu =({\mu }_1,\dots ,{\mu }_p)$。当输入误差较小、$f$ 在附近可微时，多元函数的一阶展开给 $$f(X)\approx f(\mu )+\sum _{i=1}^p\frac{\partial f}{\partial x_i}(\mu )(X_i-{\mu }_i)=f(\mu )+\mathrm{\nabla }f(\mu {)}^{𝖳}(X-\mu ).$$ 记输入协方差矩阵为 $\Sigma$。对线性近似的随机部分求方差，得到 $$\mathrm{Var}(Y)\approx \mathrm{\nabla }f(\mu {)}^{𝖳}\Sigma \mathrm{\nabla }f(\mu )=\sum _i{\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)}^2{\sigma }_i^2+2\sum _{i<j}\frac{\partial f}{\partial x_i}\frac{\partial f}{\partial x_j}\mathrm{Cov}(X_i,X_j).$$ 这就是一阶误差传播公式。它不是所有问题的精确等式：等号右边忽略了二阶及更高项。若各输入独立，协方差项为零，才可以直接取各分量方差的平方和。

用面积算一遍

量得长 $X=2.0$ 米、宽 $Z=3.0$ 米，标准不确定度分别为 $0.1$ 米、$0.2$ 米。面积 $A=XZ$ 的估计值是 $6.0{\mathrm{m}}^2$；灵敏度是 $\partial A/\partial X=Z=3$ 米、$\partial A/\partial Z=X=2$ 米。若两次测量独立，一阶公式给 $$u_A\approx \sqrt{(3\times 0.1{)}^2+(2\times 0.2{)}^2}=\sqrt{0.25}=0.5{\mathrm{m}}^2.$$ 即按这些假设估计，面积标准不确定度约为 $0.5{\mathrm{m}}^2$。它不是“面积必定在 5.5 至 6.5 平方米之间”。要谈区间覆盖率，必须再说明分布或采用有相应保证的区间方法。

如果长和宽受同一种校准误差影响，相关系数为 $0.5$，则 $\mathrm{Cov}(X,Z)=0.5(0.1)(0.2)=0.01{\mathrm{m}}^2$。交叉项为 $2(3)(2)(0.01)=0.12{\mathrm{m}}^4$，面积方差变成 $0.37{\mathrm{m}}^4$，标准不确定度约 $0.61{\mathrm{m}}^2$。忽略相关性会低估本例的不确定度；若相关方向相反，也可能高估。

标准不确定度与区间边界不能混用

另设工程规格保证长在 $[1.9,2.1]$ 米、宽在 $[2.8,3.2]$ 米，且两者均为正。面积的最小与最大值可由单调性直接求得： $$A\in [1.9\times 2.8,2.1\times 3.2]=[5.32,6.72]{\mathrm{m}}^2.$$ 这里是给定输入硬边界下的输出硬边界，与上一节的 $6.0\pm 0.5{\mathrm{m}}^2$ 标准不确定度不是同一种陈述。它也未利用真实测量中两量可能相关的额外约束。

非线性、比值与模型误差

若输入误差不小、函数在工作点附近曲率很大，或分母可能接近零，一阶展开会失准。例如 $Y=1/X$ 而 $X$ 的范围包含零时，导数近似和常规置信区间都可能严重误导。可以在物理允许的参数区域内用蒙特卡洛模拟抽取联合输入、逐次计算输出，检查结果分布；但这种方法仍依赖输入分布及相关结构是否设对。若已知输入是有界区间，则应考虑区间传播或全局优化，不能拿模拟样本的最小最大值冒充数学保证。

即使仪器本身极精确，模型 $f$ 仍可能忽略温度、摩擦或几何偏差。完整报告应写明被测量、单位、校准方式、重复次数、输入协方差、传播方法与模型假设；再用独立数据检查预测。逆问题与可辨识性中反推参数尤其要警惕误差放大：前向输出误差很小，不表示参数估计很准。

参考资料与相关词条

• NIST《Combining Uncertainty Components》，一阶泰勒展开、灵敏度系数与相关输入的协方差项。
• NIST Technical Note 1297，第 5 节，合成标准不确定度的定义和报告。
• 先修：偏导数、协方差、方差与标准差；相关：条件数、敏感性分析、逆问题与可辨识性。